拿破崙問題

拿破崙問題（Napoleon's problem）是著名的圓規作圖問題，原題如下：

給定一圓和其圓心，只用圓規將此圓四等分。（此圓指的是圓周而不是圓面積）

此題目是由義大利數學家洛倫佐·馬斯凱羅尼向拿破崙·波拿巴提出的問題，但我們不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化，變成只給定一圓，只用圓規將此圓四等分，在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。

1672年，Template:Tsl證明只要使用圓規就可以解決所有的尺規作圖，但此證明直到1928年才被發現。

找出圓心

$C$→深藍、$C_1$→紅、$C_2$→綠、$C_3$→紫、$C_4$→藍

作法

1. 在已知的圓$C$上找任意一點 A，以任意半徑畫弧 $C_1$（必須和圓$C$有交點，长度最好差不多有半圆那么长，方便第三步作图），交圓$C$於 B'、B 兩點。
2. 分别以B'、B為圓心， $\overline{B^{\prime }A}$ 、$\overline{BA}$ 為半徑，畫兩条弧 $C_2$，兩弧线相交於 A 点和 C 點。
3. 再以 C 点為圓心、 $\overline{CA}$為半徑，畫弧 $C_3$ ，交弧$C_1$於 D'、D兩點。
4. 以D'、D為圓心， $\overline{D^{\prime }A}$ 、$\overline{DA}$ 為半徑，畫兩条弧 $C_4$ ，兩弧线相交於A点和O点。（O点即圓$C$的圓心）

證明

設圓$C_1$的半徑為$a$，圓$C_3$的半徑為$b$，我們知道：

$a=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{AD}=\overline{OD}$

$b=\overline{AC}=\overline{DC}$

因為$\mathrm{△}ADC\sim \mathrm{△}AOD$，所以$\overline{AO}=\frac{a^2}{b}$

由於$\overline{AO}:\overline{AB}=a:b=\overline{AB}:\overline{AC}$，可以得出$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}AOB$

根據對稱性，$\overline{AO}$通過圓心，又$\overline{AO}=\overline{OB}$，所以$O$是圓$C$的圓心。

四等分圓

作法

由前面我們已經知道圓心的位置

1. 在已知的圓上找任意一點 $X$，以$\overline{XO}$為半徑畫弧 $C_1$，交圓於 $V$、$Y$ 兩點。
2. 以 $Y$ 為圓心，$\overline{YO}$為半徑畫弧 $C_2$，交圓於 $Z$ 点（和 $X$ 點）。
3. （继续分别以 $Z$、$V$ 為圓心，$\overline{ZO}$、$\overline{VO}$ 為半徑畫弧，即可將圓六等分，）$V$、$X$、$Y$、$Z$ 為四个六等分點（如圖）。
4. 以 $V$ 為圓心，$\overline{VY}$為半徑畫弧 $C_3$；以 $Z$ 為圓心，$\overline{ZX}$為半徑畫弧 $C_4$，兩弧交於 $T$ 點。
5. 以 $Z$ 為圓心，取$\overline{OT}$的长度 $D$ 為半徑畫弧 $C_5$，交圓於 $U$、$W$ 兩點。
6. $V$、$W$、$Z$、$U$ 四點將圓四等分。

證明

設圓的半徑為$a$，容易得出$\overline{OV}$、$\overline{OX}$、$\overline{OY}$、$\overline{OZ}$、$\overline{VX}$、$\overline{XY}$、$\overline{YZ}$的長度都是$a$，可以得出$\overline{VY}=\overline{VT}=\sqrt{3}a$，根據畢氏定理可以得出$\overline{OT}=\sqrt{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{VT}}-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{VO}}}=\sqrt{2}a$，因此$V$、$W$、$Z$、$U$四點將圓四等分。

參見

• 拿破崙定理
• 尺規作圖
• 圓規作圖

參考資料

• Napoleon's Problem Template:WaybackMathWorld
• 拿破崙分圓