變分法基本引理

在數學裏，特別是在變分法裏，變分法基本引理（Template:Lang）是一種專門用來變換問題表述的引理，可以將問題從弱版表述（Template:Lang）（變分形式）改變為強版表述（微分形式）。

敘述

$C^k$ 代表$k$阶导数连续（$k$阶光滑）的函数空间，$C^{\mathrm{\infty }}$代表无限光滑的函数空间。

變分法基本引理：

設 $f(x)\in C^{\mathrm{\infty }}[a,b]$

若任意 $h(x)\in C^{\mathrm{\infty }}[a,b]$ 滿足 $h(a)=h(b)=0$ 成立

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)h(x)dx=0$

則 $\text{∀}x\in (a,b):f(x)=0$。

證明

設 $f(x)\in C^{\mathrm{\infty }}[a,b]$ 且 $f(x)\ne 0$ ，

因為只要存在一個不滿足 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)h(x)dx=0$ 的 $h(x)$ ，就可以證明 $f(x)=0$ ，因此我們只須證明其中一個特例。

令 $r(x)$ 滿足下列兩個條件：

$r(a)=r(b)=0$ ；

$\text{∀}x\in (a,b):r(x)>0$ ；

並且令 $h(x)=r(x)f(x)$。

由 $h(x)=r(x)f(x)$ 可得到

$0=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)h(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}r(x)f(x{)}^{2}dx$ 。

因為 $r(x)$ 在 $(a,b)$ 是正值，所以$f(x)$ 必須恆等於 0 ，與假設 $f(x)\ne 0$ 矛盾。

故 $\text{∀}x\in (a,b):f(x)=0$ 。

應用

這引理可用來證明泛函

$J[f(t,y,\dot{y})]=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}f(t,y,\dot{y})dt$

的極值是歐拉-拉格朗日方程式

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f(t,y,\dot{y})}{\partial \dot{y}}\right)-\frac{\partial f(t,y,\dot{y})}{\partial y}=0$

的弱解。

歐拉-拉格朗日方程式在經典力學和微分幾何佔有重要的角色。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓原理
• 泛函分析

參考文獻

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