比较审敛法

Template:ScienceNavigation 比较审敛法（Direct comparison test）是一种判定级数是否收敛的方法。

定理

设两个级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$和$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$，且$|u_n|\le v_n(n=1,2,3,...)$：

如果级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$收敛；

设两个级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$和$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$，且$v_n\le u_n(n=1,2,3,...)$：

如果级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$发散，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$发散。

证明

证明1

设${\sigma }_k=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n,s_k=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$当$u_n\le v_n$时，则有${\sigma }_k\le s_k$：

当级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$收敛时，数列$s_k$有界，从而数列${\sigma }_k$有界，所以级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$收敛；

当级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$发散时，数列${\sigma }_k$无界，从而数列$s_k$无界，所以级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$发散。

证明2

设有级数$\sum a_n$与$\sum b_n$，其中$\sum b_n$绝对收敛（$\sum |b_n|$收敛）。不失一般性地假设对于任何正整数n，都满足$|a_n|\le |b_n|$。考虑它们的部分和$S_n=|a_1|+|a_2|+\dots +|a_n|,T_n=|b_1|+|b_2|+\dots +|b_n|.$由于$\sum b_n$绝对收敛，存在实数T，使得$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{T}_n=T$成立。

对于任意n，都有$0\le S_n=|a_1|+|a_2|+\dots +|a_n|\le |a_1|+\dots +|a_n|+|b_{n+1}|+\dots =S_n+(T-T_n)\le T.$ (因满足$|a_n|\le |b_n|$)

由于$S_n$为单调不下降序列，$S_n+(T-T_n)$为单调不上升序列(隨著n上升，屬於$|a_n|$的便多過屬於$|b_n|$)，给定$m,n>N$，$S_n,S_m$都属于闭区间$[S_N,S_N+(T-T_N)]$，当N趋向无穷大时，这个区间的长度$T-T_n$趋向于0。这表明$(S_n{)}_{n=1,2,\dots }$是一个柯西序列，因此收敛于一个极限值。因此$\sum a_n$绝对收敛。

参见

• 审敛法
• 比值审敛法
• 根值审敛法
• 交错级数审敛法