并矢积：修订间差异

2013年3月12日 (二) 21:18的最新版本

在数学特别是双线性代数中，有同样维度的两个向量 $𝐮$ 和 $𝐯$ 的并矢积

ℙ = 𝐮 \otimes 𝐯

是这些向量的张量积，而结果是阶为 2 的张量。

关于选定的基 ${𝐞_{i}}$ ，并矢积 $ℙ = 𝐮 \otimes 𝐯$ 的分量 $P_{i j}$ 可以定义为

P_{i j} = u_{i} v_{j}

,

这里的

𝐮 = \sum_{i} u_{i} 𝐞_{i}

,

𝐯 = \sum_{j} v_{j} 𝐞_{j}

,

而

ℙ = \sum_{i, j} P_{i j} 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j}

.

并矢积可以简单的表示为通过列向量 $𝐮$ 乘以行向量 $𝐯$ 的方块矩阵。例如，

𝐮 \otimes 𝐯 \to [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} u_{1} v_{1} & u_{1} v_{2} & u_{1} v_{3} \\ u_{2} v_{1} & u_{2} v_{2} & u_{2} v_{3} \\ u_{3} v_{1} & u_{3} v_{2} & u_{3} v_{3} \end{matrix}],

这里的箭头指示这只是并矢积关于特定基的特定表示。在这种表示中，并矢积是克罗内克积的特殊情况。