ARMA模型

Template:NoteTA ARMA模型（Template:Lang-en，全稱：自我迴歸滑動平均模型）。是研究时间序列的重要方法，由自迴歸模型（简称AR模型）与移动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。

自我迴歸AR(p)模型

$X_t=c+\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}+{\epsilon }_t.$

自回归模型描述的是当前值与历史值之间的关系。

其中：$c$是常數項；${\epsilon }_t$被假設為平均數等於0，標準差等於$\sigma$的隨機誤差值；${\epsilon }_t$被假設為對於任何的$t$都不變。

移动平均MA(q)模型

$X_t=\mu +{\epsilon }_t+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{\epsilon }_{t-i}$

移动平均模型描述的是自回归部分的误差累计。

其中 μ 是序列的均值，θ₁,..., θ_q 是参数，ε_t , ε_t-1,..., ε_t−q 都是 白噪声。

ARMA(p,q)模型

ARMA(p,q)模型中包含了p個自回归项和q個移动平均项，ARMA(p,q)模型可以表示为：

$X_t=c+{\epsilon }_t+\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}+\sum _{j=1}^q{\theta }_j{\epsilon }_{t-j}$

ARMA滞后算子表示法

有时ARMA模型可以用滞后算子（Lag operator）$L$ 来表示，$L^i{X}_t=X_{t-i}$。这样AR(p)模型可以写成为：

${\epsilon }_t=(1-\sum _{i=1}^p{\phi }_i{L}^i)X_t=\phi (L)X_t$

其中$\phi$表示多项式

$\phi (L)=1-\sum _{i=1}^p{\phi }_i{L}^i$

MA(q)模型可以写成为：

$X_t=(1+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{L}^i){\epsilon }_t=\theta (L){\epsilon }_t$

其中θ 表示多项式

$\theta (L)=1+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{L}^i$

最后，ARMA(p,q)模型可以表示为：

$(1-\sum _{i=1}^p{\phi }_i{L}^i)X_t=(1+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{L}^i){\epsilon }_t$

或者

$\phi (L)X_t=\theta (L){\epsilon }_t.$

若$\phi (L)=1$,则ARMA过程退化为MA(q)过程 若$\theta (L)=1$,则ARMA过程退化为AR(p)过程。

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