猴鞍面

数学中，猴鞍面（monkey saddle）是方程

$z=x^3-3x{y}^2$

定义的曲面。用圆柱坐标系也可写作

$z={\rho }^3\cos (3\phi ).$

猴鞍面

猴鞍面属于鞍面，名称来源于这样的观察：给猴子准备的鞍需要两个凹陷来放腿，一个凹陷来放尾巴。猴鞍面的原点对应$z(x,y)$在原点的退化临界点。猴鞍面有一个孤立的脐点，原点处的高斯曲率为零，而在所有其他点的曲率都是严格负的。 可通过复数将直角坐标与圆柱坐标联系起来：

$z=x^3-3x{y}^2=\mathrm{Re}[(x+iy{)}^3]=\mathrm{Re}[r^3{e}^{3i\phi }]=r^3\cos (3\phi ).$

将圆柱方程中的3替换为任意整数$k\ge 1$，就可以得到具有k凹陷的鞍面。

猴鞍面的另一个方向是由$x+y+z+xyz=0$定义的Smelt花瓣，因此猴鞍面的z轴对应Smelt花瓣中的$(1,1,1)$方向。

Smelt花瓣：$x+y+z+xzy=0$

马鞍面

马鞍面（horse saddle）指$z(x,y)$在x-y平面的每个方向上都有一个鞍点、局部最小值或最大值的普通鞍面。相比之下，猴鞍面在每个方向上都有静止的拐点。

外部链接

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