收敛矩阵

线性代数中，收敛矩阵是在求幂过程中收敛到零矩阵的矩阵。

背景

矩阵T的幂随次数增加而变小时（即T的所有项都趋近于0），T收敛到零矩阵。可逆矩阵A的正则分裂会产生收敛矩阵T。A的半收敛分裂会产生半收敛矩阵T。将T用于一般的迭代法，则对任意初向量都是收敛的；半收敛的T则要初向量满足特定条件才收敛。

定义

n阶方阵T若满足

则称T是是收敛矩阵。

例子

令

$\begin{array}{cc}& 𝐓=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{1}{2}\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right).\end{array}$

T的幂是

$\begin{array}{cc}& {𝐓}^2=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{16}& \frac{1}{4}\\ 0& \frac{1}{16}\end{array}\right),{𝐓}^3=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{64}& \frac{3}{32}\\ 0& \frac{1}{64}\end{array}\right),{𝐓}^4=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{256}& \frac{1}{32}\\ 0& \frac{1}{256}\end{array}\right),{𝐓}^5=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{1024}& \frac{5}{512}\\ 0& \frac{1}{1024}\end{array}\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}{𝐓}^6=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4096}& \frac{3}{1024}\\ 0& \frac{1}{4096}\end{array}\right),\end{array}$

综之，

$\begin{array}{c}{𝐓}^k=\left(\begin{array}{cc}(\frac{1}{4}{)}^k& \frac{k}{2^{2k-1}}\\ 0& (\frac{1}{4}{)}^k\end{array}\right).\end{array}$

由于

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{4}\right)}^k=0$

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{k}{2^{2k-1}}=0,$

T是收敛矩阵。注意其谱半径$\rho (𝐓)=\frac{1}{4}$，因为$\frac{1}{4}$是T唯一的特征值。

特征

设T是n阶方阵，则下列表述等价于T的收敛矩阵：

1. 对某自然范数，$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert {𝐓}^k\Vert =0$
2. 对所有自然范数，$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert {𝐓}^k\Vert =0$
3. $\rho (𝐓)<1$
4. $\mathrm{\forall }𝕩,\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{𝐓}^k𝐱=\mathrm{𝟎}$

迭代法

Template:Main 一般的迭代法包含将线性方程组

转为等价方程组

的过程。选定初向量${𝐱}^{(0)}$，近似解向量序列的生成由

对任意初向量${𝐱}^{(0)}\in {ℝ}^n$，序列$\{{𝐱}^{\left(k\right)}{\}}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$由(Template:EquationNote)定义，$\mathrm{\forall }k\ge 0,𝐜\ne 0$，当且仅当$\rho (𝐓)<1$收敛于(Template:EquationNote)的唯一解，即T是收敛矩阵。

正则分裂

Template:Main 矩阵分裂是用多个矩阵的和或差表示矩阵。对(Template:EquationNote)所示的线性方程组，若A可逆，则A就可分裂为

于是(Template:EquationNote)可重写为(Template:EquationNote)。当且仅当${𝐁}^{-1}\ge \mathrm{𝟎},𝐂\ge \mathrm{𝟎}$时，(Template:EquationNote)式是A的正则分裂；即${𝐁}^{-1},𝐂$只有非负元素。若分裂(Template:EquationNote)是A的正则分裂、且${𝐀}^{-1}\ge \mathrm{𝟎}$，则$\rho (𝐓)<1$，T是收敛矩阵，迭代法(Template:EquationNote)收敛。

半收敛矩阵

n阶方阵T，若极限

存在，则称之为半收敛矩阵。若A可能奇异，而(Template:EquationNote)齐次，即b在A的范围内，则当且仅当T是半收敛矩阵时，对任何初向量${𝐱}^{(0)}\in {ℝ}^n$，(Template:EquationNote)定义的序列收敛到(Template:EquationNote)的解。这时，分裂(Template:EquationNote)称作A的半收敛分裂。

另见

• 高斯-赛德尔迭代
• 雅可比法
• 矩阵列表
• 幂零矩阵
• 逐次超松弛迭代法

参考文献

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