指示函数：修订间差异

2023年6月2日 (五) 12:09的最新版本

在集合論中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。指示函数有时候也称为示性函数或特征函数。

集X的子集A的指示函数是函数 $1_{A} : X \to {0, 1}$ ，定义为

$1_{A} (x) = {\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}$	若 $x \in A$
	若 $x \notin A$

A的指示函数也记作 $χ_{A} (x)$ 或 $I_{A} (x)$ 。

把X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射，值域是所有函数 $f : X \to {0, 1}$ 的集合。

如果A和B是X的两个子集，那么

1_{A \cap B} = \min {1_{A}, 1_{B}} = 1_{A} 1_{B}

，

以及

1_{A \cup B} = \max {1_{A}, 1_{B}} = 1_{A} + 1_{B} - 1_{A} 1_{B}

。

更一般地，设A₁, ..., A_n是X的子集。对任意 $x \in X$ ，可知

\prod_{k \in I} (1 - 1_{A_{k}} (x)) = 1

当且仅当x不属于任何A_k。

故有

\prod_{k \in I} (1 - 1_{A_{k}}) = 1_{X - ⋃_{k} A_{k}} = 1 - 1_{⋃_{k} A_{k}}

。

展开左式

$1_{⋃_{k} A_{k}}$	$= 1 - \sum_{F \subseteq {1, 2, \dots, n}} (- 1)^{\| F \|} 1_{⋂_{F} A_{k}}$
	$= \sum_{\emptyset \neq F \subseteq {1, 2, \dots, n}} (- 1)^{\| F \| + 1} 1_{⋂_{F} A_{k}}$ ，

其中|F|是F的势。这是容斥原理的一个形式。

如上一例子所示，指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方，例如在概率论：若X是概率空间，有概率测度P，A是可测集，那么1_A就是随机变量，其期望值等于A的概率。

E (1_{A}) = \int_{X} 1_{A} (x) d P = \int_{A} d P = P (A)

。

这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明裡。