測量員公式

Template:Expand language Template:Citation style 測量員公式（Template:Lang-en），又稱為鞋帶公式（Template:Lang-en）、測量師公式、高斯面積公式（Template:Lang-en），是用來計算笛卡兒平面上的任意多邊形面積的一個公式。內容如下：給定座標平面上$n$個點的座標（依逆時針順序）$A_1(x_1,y_1),A_2(x_2,y_2),A_3(x_3,y_3),\dots ,A_n(x_n,y_n)$，此$n$個點所圍成的$n$邊形之面積$S=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}{x}_1& x_2& x_3& ...& x_n\\ y_1& y_2& y_3& ...& y_n\end{array}\right|=\frac{1}{2}(\left|\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ y_1& y_2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{x}_2& x_3\\ y_2& y_3\end{array}\right|+...+\left|\begin{array}{cc}{x}_{n-1}& x_n\\ y_{n-1}& y_n\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{x}_n& x_1\\ y_n& y_1\end{array}\right|)$。

使用範例

如右圖，$ABCDE$為一個五邊形。其座標（已依照逆時針順序排序）分別為$A(5,0),B(7,10),C(-2,15),D(-10,2),E(-5,-6)$。則由測量員公式可知，此五邊形之面積為$$S_{ABCDE}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}5& 7& -2& -10& -5\\ 0& 10& 15& 2& -6\end{array}\right|$$$=\frac{1}{2}[5\times 10-0+7\times 15-(-2)\times 10+(-2)\times 2-(-10)\times 15+(-10)\times (-6)-(-5)\times 2-5\times (-6)]$

$=210.5$

座標平面上的五個點所圍成的五邊形。