二項式係數：修订间差异

2025年2月20日 (四) 13:04的最新版本

在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數 $n$ 和 $k$ 為參數決定，寫作 $(\binom{n}{k})$ ，定義為 $(1 + x)^{n}$ 的多項式展開式中， $x^{k}$ 項的係數，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 $(\binom{n}{0}), (\binom{n}{1}), \dots, (\binom{n}{n})$ 寫成一行，再依照 $n = 0, 1, 2, \dots$ 順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。

二項式係數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上， $(\binom{n}{k})$ 可以被理解為從 $n$ 個相異元素中取出 $k$ 個元素的方法數，所以 $(\binom{n}{k})$ 大多讀作「 $n$ 取 $k$ 」。二項式係數 $(\binom{n}{k})$ 的定義可以推廣至 $n$ 是複數的情況，而且仍然被稱為二項式係數。

歷史及記號

雖然二項式係數在西元10世紀就已經被發現（見帕斯卡三角形），但表達式 $(\binom{n}{k})$ 卻是到1826年才由安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森首次始用^{[注 1]}。最早探討二項式係數的論述是十世紀的 Template:Tsl寫的印度教典籍《宾伽罗的計量聖典》（chandaḥśāstra）。約1150年，印度數學家婆什迦羅第二於其著作《Lilavati》^{[注 2]} 中給出一個簡單的描述。

二項式係數亦有不同的符號表達方式，包括： $C (n, k)$ 、 $_{n} C_{k}$ 、 $n C_{k}$ 、 $C_{n}^{k}$ 、 $C_{k}^{n}$ ^{[注 3]}，其中的 C 代表組合（combinations）或選擇（choices）。很多計算機使用含有 C 的變種記號，使得算式只佔一行的空間，相同理由也發生在置換數 $P_{k}^{n}$ ，例如寫作 P(n, k)。

定義及概念

對於非負整数 $n$ 和 $k$ ，二項式係數 $(\binom{n}{k})$ 定義為 $(1 + x)^{n}$ 的多項式展開式(又稱為二項式係數的生成函數)中， $x^{k}$ 項的係數，即

(1 + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = (\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) x + \dots + (\binom{n}{n}) x^{n}

事實上，若 $x$ 、 $y$ 為交換環上的元素，則

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k}

此數的另一出處在組合數學，表達了從 $n$ 物中，不計較次序取 $k$ 物有多少方式，亦即從一 $n$ 元素集合中所能組成 $k$ 元素子集的數量。此定義與上述定義相同，理由如下：若將冪 $(1 + X)^{n}$ 的 $n$ 個因數逐一標記為 $i$ （從1至 $n$ ），則任一 $k$ 元素子集則建構成展式中的一個 $X^{k}$ 項，故此該單項的係數等如此種子集的數量。亦因此，就任何自然數 $n$ 和 $k$ 而言， $(\binom{n}{k})$ 亦為自然數。此外，二項式係數亦見於很多組合問題的解答中，如由 $n$ 個位元（如數字0或1）組成的所有序列中，其和為 $k$ 的數目為 $(\binom{n}{k})$ ，又如算式 $k = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ，其中每一 $a_{i}$ 均為非負整數，則有 $(\binom{n + k - 1}{k})$ 種寫法。這些例子中，大部分可視作等同於點算 $k$ 個元素的組合的數量。

計算二項式係數

除展開二項式或點算組合數量之外，尚有多種方式計算 $(\binom{n}{k})$ 的值。

遞歸公式

以下遞歸公式可計算二項式係數：

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) \forall n, k \in ℕ

其中特別指定：

(\binom{n}{0}) = 1 \forall n \in ℕ \cup {0},

(\binom{0}{k}) = 0 \forall k \in ℕ .

此公式可由計算 $(1 + x)^{n - 1} (1 + x)$ 中的 $x^{k}$ 項，或點算集合 ${1, 2, \dots, n}$ 的 $k$ 個元素組合中包含 $n$ 與不包含 $n$ 的數量得出。

顯然，如果 $k > n$ ，則 $(\binom{n}{k}) = 0$ 。而且對所有 $n$ ， $(\binom{n}{n}) = 1$ ，故此上述遞歸公式可於此等情況下中斷。遞歸公式可用作建構帕斯卡三角形。

乘數公式

個別二項式係數可用以下公式計算：

(\binom{n}{k}) = \frac{n^{\underline{k}}}{k!} = \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots [n - (k - 1)]}{k (k - 1) (k - 2) \dots 1} = \prod_{i = 1}^{k} \frac{n - (k - i)}{i},

上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解：分子為從 $n$ 個元素中取出 $k$ 個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的 $k$ 個元素可有多少種排序方式。

階乘公式

二項式係數最簡潔的表達式是階乘:

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} for 0 \leq k \leq n .

其中「 $n!$ 」是 $n$ 的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以 $(n - k)!$ 取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性：

Template:NumBlk

一般化形式及其與二項式級數的關係

若將 $n$ 換成任意數值（負數、實數或複數） $α$ ，甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素，則二項式係數可籍乘數公式擴展^{[注 4]}：

(\binom{α}{k}) = \frac{α^{\underline{k}}}{k!} = \frac{α (α - 1) (α - 2) \dots (α - k + 1)}{k (k - 1) (k - 2) \dots 1} for k \in ℕ and arbitrary α .

此定義能使二項式公式一般化（其中一單項為1），故 $(\binom{α}{k})$ 仍能相稱地稱作二項式係數：

Template:NumBlk

此公式對任何複數 $α$ 及 $X$ ， $| X | < 1$ 時成立，故此亦可視作 $X$ 的冪級數的恆等式，即係數為常數1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如

(1 + X)^{α} (1 + X)^{β} = (1 + X)^{α + β} and ((1 + X)^{α})^{β} = (1 + X)^{α β} .

若 $α$ 是一非負整數 $n$ ，則所有 $k > n$ 的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於 $α$ 的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。

帕斯卡三角形 (楊輝三角)

Template:Main Template:Main

帕斯卡法則是一重要的遞歸等式： Template:NumBlk 此式可以用於數學歸納法，以証明 $(\binom{n}{k})$ 對於所有 $n$ 和 $k$ 均為自然數（等同於証明 $k!$ 為所有 $k$ 個連續整數之積的因數），此特性並不易從公式(1)中得出。

帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形:

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

第 $n$ 橫行列出 $(\binom{n}{k})$ 的 $k = 0, \dots, n$ 項，其建構方法為在外邊填上1，然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下，此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數，例如從第5橫行可馬上得出

(x + y)^{5} = 1 x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + 1 y^{5}

在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值，此乃上述遞歸等式(Template:EquationNote)的延伸意義。

組合數學和統計學

二項式係數是組合數學中的重要課題，因其可用於眾多常見的點算問題中，例如

共有 $(\binom{n}{k})$ 種方式從 $n$ 元素中選取 $k$ 項。見組合。
共有 $(\binom{n + k - 1}{k})$ 種方式從一個 $n$ 元素集合中選取（容許重覆選取） $k$ 元素建立多重集。
共有 $(\binom{n + k}{k})$ 個字符串包含 $k$ 個1和 $n$ 個零。
共有 $(\binom{n + 1}{k})$ 個字符串包含 $k$ 個1和 $n$ 個零，且沒有兩個1相鄰。^{[参 1]}
卡塔蘭數是 $\frac{(\binom{2 n}{n})}{n + 1}$
統計學中的二項式分佈是 $(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
貝茲曲線的公式。

以多項式表達二項式係數

就任就非負整數 $k$ ， $(\binom{t}{k})$ 可表達為一多項式除以 $k!$ ：

(\binom{t}{k}) = \frac{(t)_{k}}{k!} = \frac{(t)_{k}}{(k)_{k}} = \frac{t (t - 1) (t - 2) \dots (t - k + 1)}{k (k - 1) (k - 2) \dots (2) (1)};

此為帶有理數係數，變量是 $t$ 的多項式，可對任意實數或複數 $t$ 運算以得出二項式係數，此「廣義二項式係數」見於牛頓廣義二項式定理。

就任意 $k$ ，多項式 $(\binom{t}{k})$ 可看成是惟一的 $k$ 次多項式 $p (t)$ 滿足 $p (0) = p (1) = \dots = p (k - 1) = 0$ 及 $p (k) = 1$ .

其係數可以第一類斯特靈數表示，即：

(\binom{t}{k}) = \sum_{i = 0}^{k} \frac{s_{k, i}}{k!} t^{i}

$(\binom{t}{k})$ 之導數可以對數微分計算：

\frac{d}{d t} (\binom{t}{k}) = (\binom{t}{k}) \sum_{i = 0}^{k - 1} \frac{1}{t - i} .

以二項式係數為多項式空間之基底

在任何包含Q的域中，最多 $d$ 階的多項式有惟一的線性組合 $\sum_{k = 0}^{d} a_{k} (\binom{t}{k})$ 。係數 $a_{k}$ 是數列 $p (0), p (1), \dots, p (k)$ 的第k差分，亦即： ^{[注 5]} Template:NumBlk

整數值多項式

每一多項式 $(\binom{t}{k})$ 在整數參數時均是整數值（可在 $k$ 上，用帕斯卡法則以歸納法証明）。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，(Template:EquationNote)表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵0域 $k$ 的任何子環 $R$ ，在 $K [t]$ 內的多項式在整數參數時之值均在 $R$ 內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的 $R$ -線性組合。

整數值多項式 $\frac{3 t (3 t + 1)}{2}$ 可表達作：

9 (\binom{t}{2}) + 6 (\binom{t}{1}) + 0 (\binom{t}{0})

从 $t = 1, 2, 3$ 时 $\frac{3 t (3 t + 1)}{2} = 6, 21, 45$ 用帕斯卡矩阵的逆可算出：

(\begin{matrix} (\binom{t - 1}{0}) & (\binom{t - 1}{1}) & (\binom{t - 1}{2}) \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 21 \\ 45 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (\binom{t - 1}{0}) & (\binom{t - 1}{1}) & (\binom{t - 1}{2}) \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 15 \\ 9 \end{matrix})

= 6 (\binom{t - 1}{0}) + 15 (\binom{t - 1}{1}) + 9 (\binom{t - 1}{2}) = 6 (\binom{t}{1}) + 9 (\binom{t}{2})

这种二項式係數多項式结合朱世杰恒等式应用于等幂求和。

有關二項式係數的恆等式

关系式

階乘公式能聯繫相鄰的二項式係數，例如在 $k$ 是正整數時，對任意 $n$ 有：

$(\binom{n + 1}{k}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1})$
$(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})$
$(\binom{n - 1}{k}) - (\binom{n - 1}{k - 1}) = \frac{n - 2 k}{n} (\binom{n}{k}) .$

两个组合数相乘可作变换：

(\binom{n}{i}) (\binom{i}{m}) = (\binom{n}{m}) (\binom{n - m}{i - m})

^{[参 2]}

一阶求和公式

$\sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) = 2^{n}$
$\sum_{r = 0}^{k} (\binom{n + r - 1}{r}) = (\binom{n + k}{k})$
$\sum_{r = 0}^{n - k} \frac{(- 1)^{r} (n + 1)}{k + r + 1} (\binom{n - k}{r}) = {(\binom{n}{k})}^{- 1}$
$\sum_{r = 0}^{n} (\binom{d n}{d r}) = \frac{1}{d} \sum_{r = 1}^{d} (1 + e^{\frac{2 π r i}{d}})^{d n}$ ^{[参 3]}

$\sum_{i = m}^{n} (\binom{a + i}{i}) = (\binom{a + n + 1}{n}) - (\binom{a + m}{m - 1})$

(\binom{a + m}{m - 1}) + (\binom{a + m}{m}) + (\binom{a + m + 1}{m + 1}) + . . . + (\binom{a + n}{n}) = (\binom{a + n + 1}{n})

$F_{n} = \sum_{i = 0}^{\infty} (\binom{n - i}{i})$ ^{[参 4]}

F_{n - 1} + F_{n} = \sum_{i = 0}^{\infty} (\binom{n - 1 - i}{i}) + \sum_{i = 0}^{\infty} (\binom{n - i}{i}) = 1 + \sum_{i = 1}^{\infty} (\binom{n - i}{i - 1}) + \sum_{i = 1}^{\infty} (\binom{n - i}{i}) = 1 + \sum_{i = 1}^{\infty} (\binom{n + 1 - i}{i}) = \sum_{i = 0}^{\infty} (\binom{n + 1 - i}{i}) = F_{n + 1}

Template:Main

$\sum_{i = m}^{n} (\binom{i}{a}) = (\binom{n + 1}{a + 1}) - (\binom{m}{a + 1})$

(\binom{m}{a + 1}) + (\binom{m}{a}) + (\binom{m + 1}{a}) . . . + (\binom{n}{a}) = (\binom{n + 1}{a + 1})

二阶求和公式

$\sum_{r = 0}^{n} {(\binom{n}{r})}^{2} = (\binom{2 n}{n})$

$\sum_{i = 0}^{n} (\binom{r_{1} + n - 1 - i}{r_{1} - 1}) (\binom{r_{2} + i - 1}{r_{2} - 1}) = (\binom{r_{1} + r_{2} + n - 1}{r_{1} + r_{2} - 1})$ ^{[参 5]}

(1 - x)^{- r_{1}} (1 - x)^{- r_{2}} = (1 - x)^{- r_{1} - r_{2}}

(1 - x)^{- r_{1}} (1 - x)^{- r_{2}} = (\sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{r_{1} + n - 1}{r_{1} - 1}) x^{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{r_{2} + n - 1}{r_{2} - 1}) x^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{i = 0}^{n} (\binom{r_{1} + n - 1 - i}{r_{1} - 1}) (\binom{r_{2} + i - 1}{r_{2} - 1})) x^{n}

(1 - x)^{- r_{1} - r_{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{r_{1} + r_{2} + n - 1}{r_{1} + r_{2} - 1}) x^{n}

Template:Main

$\sum_{i = 0}^{k} (\binom{n}{i}) (\binom{m}{k - i}) = (\binom{n + m}{k})$

三阶求和公式

Template:Main

${(\binom{n + k}{k})}^{2} = \sum_{j = 0}^{k} {(\binom{k}{j})}^{2} (\binom{n + 2 k - j}{2 k})$

備註

Template:Reflist

參考文獻

Template:Reflist

Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer (2003). Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof Template:Wayback, Mathematical Association of America.
Template:Cite book
Template:Cite book
Template:Cite journal
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Template:Cite book
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Template:Cite journal
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参见

组合

外部連結

引用错误：名称为“注”的group（分组）存在<ref>标签，但未找到对应的<references group="注"/>标签
引用错误：名称为“参”的group（分组）存在<ref>标签，但未找到对应的<references group="参"/>标签

[注 1]

[注 2]

[注 3]

[注 4]

[参 1]

[注 5]

[参 2]

[参 3]

[参 4]

[参 5]

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目录

歷史及記號

定義及概念

計算二項式係數

遞歸公式

乘數公式

階乘公式

一般化形式及其與二項式級數的關係

帕斯卡三角形 (楊輝三角)

組合數學和統計學

以多項式表達二項式係數

以二項式係數為多項式空間之基底

整數值多項式

有關二項式係數的恆等式

关系式

一阶求和公式

二阶求和公式

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