半指數函數

在數學上，半指數函數（Half-exponential function）是指數函數的Template:Link-en；換句話說，若$f$是一個半指數函數，則$f$與自己的複合函數會是一個指數函數：Template:R $$f(f(x))=a{b}^x,$$ 其中Template:Nowrap是常數。

解析解的不存在性

假若以加減乘除等標準算數運算、指數、對數及實數常數等來表達一個函數$f$，那麼$f(f(x))$要不就是次指數的，要不就是超指數的，Template:R因此Template:Link-en不可能是半指數函數。

建構

有無限多的函數，其半複合函數是與彼此相同的指數函數；特別地，對於任意位於開區間$(0,1)$當中的數$A$及任意從$[0,A]$映至$[A,1]$的嚴格遞增满射連續函数$g$而言，都存在作為這函數擴張的嚴格遞增連續實數函數$f$，使得Template:Nowrap，而這$f$是以下函數方程的唯一解：

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}g(x)& \text{if }x\in [0,A],\\ \exp g^{-1}(x)& \text{if }x\in (A,1],\\ \exp f(\ln x)& \text{if }x\in (1,\mathrm{\infty }),\\ \ln f(\exp x)& \text{if }x\in (-\mathrm{\infty },0).\end{array}$$

半指數函數的例子

一個簡單的、使得$f$處處有連續一階導數例子，是設$A=\frac{1}{2}$且$g(x)=x+\frac{1}{2}$，而這會得到下式： $$f(x)=\{\begin{array}{cc}{\log }_e(e^x+\frac{1}{2})& \text{if }x\le -{\log }_{e}2,\\ e^x-\frac{1}{2}& \text{if }-{\log }_{e}2\le x\le 0,\\ x+\frac{1}{2}& \text{if }0\le x\le \frac{1}{2},\\ e^{x-1/2}& \text{if }\frac{1}{2}\le x\le 1,\\ x\sqrt{e}& \text{if }1\le x\le \sqrt{e},\\ e^{x/\sqrt{e}}& \text{if }\sqrt{e}\le x\le e,\\ x^{\sqrt{e}}& \text{if }e\le x\le e^{\sqrt{e}},\\ e^{x^{1/\sqrt{e}}}& \text{if }{e}^{\sqrt{e}}\le x\le e^e,\dots \end{array}$$

應用

半指數函數出現於計算複雜性理論當中，在其中半指數成長率是介於多項式成長率與指數成長率「之間」的一種成長速率。Template:R若一個函數$f$的成長率至少與半指數函數一樣快（也就是這函數與自身的複合函數的成長率是指數函數），就表示說這函數是非遞減的，且對於任意$C>0$而言，有$f^{-1}(x^C)=o(\log x)$。Template:R

參見

• 迭代函數
• Template:Link-en
• Template:Link-en

外部連結

• Does the exponential function have a (compositional) square root?
• “Closed-form” functions with half-exponential growth