一矩陣：修订间差异

2022年10月18日 (二) 20:08的最新版本

Template:NoteTA Template:Other uses 在數學中，一矩陣又稱為全一矩陣，是指所有元素皆為1的矩陣^[1]，通常以符號 $J$ 來表示，並以下標符號表示矩陣的維度^[2]，例如：

J_{2} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}); J_{3} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}); J_{2, 5} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}); J_{1, 2} = (\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix}) .

部分文獻將之稱為單元矩陣或單位矩陣（英語：Template:Lang^[3]^[2]）。但「單位矩陣」一詞更常代表主對角線為一、其餘為零的單位矩陣^[3]^[4]Template:Rp，兩者是不同的矩陣。

Template:Anchor類似地，一向量或全一向量是指只所有元素皆為1的向量，可以視為有一行或只有一列的全一矩陣，其也不應與單位向量混淆。

特別地， $1 \times 1$ 的全一矩陣與單位矩陣是等價的，即 $I_{1} = J_{1} = [\begin{matrix} 1 \end{matrix}]$ 。對於所有維度大於或等於2的全一矩陣，若其為方陣，則其行列式為0。^[2]

所有的 $n \times n$ 的全一方陣（為方陣的全一矩陣） $J_{n}$ 有以下性質：

$J_{n}$ 的跡為 $n$ ^[5]
若 $n \geq 2$ ， $J_{n}$ 的行列式為 $\det J_{n} = 0$ 。對於小於2的情況，行列式為1，即 $\det J_{1} = \det [\begin{matrix} 1 \end{matrix}] = 1$ 。（若也將 $n = 0$ 考慮進來，則若將空矩陣也視為一種全一矩陣，則其行列式也為1^[6]）
全一矩陣 $J_{n}$ 的特徵多項式為 $(x - n) x^{n - 1}$
全一矩陣 $J_{n}$ 的極小多項式為 $(x - n) x$
全一矩陣 $J_{n}$ 的秩為1、特徵值為 $n$ （代數重数為1）和0（代數重数為 $n - 1$ ）^[7]
$J^{k} = n^{k - 1} J$ ，其中 $k = 1, 2, \dots .$ ^[8]
全一矩陣 $J$ 是阿達瑪乘積的單位元^[9]

當全一矩陣 $J$ 在實矩陣運算時，以下附加性質成立：

全一矩陣可以應用於數學領域中的組合學，特別是在涉及代數方法的圖論中。舉例來說，如果 $A$ 是 $n$ 個頂點無向圖 $G$ 的鄰接矩陣，且 $J$ 是與 $A$ 相同維度的全一矩陣，則若 $A J = J A$ 時， $G$ 為正則圖，反之亦然。^[10]