滑動模式觀測器

滑動模式觀測器（Sliding mode observer）是應用滑動模式控制的狀態觀測器，應用滑動模式控制的技術，使觀測器的狀態可以接近受控體的狀態。

滑動模式控制屬於非線性控制，滑動模式觀測器會有非線性高增益觀測器的特性，可以在有限時間內將觀測器的誤差收斂到零。此外，切換模式的觀測器類似卡尔曼滤波，可以允許一些程度的量測雜訊。

線性滑動模式觀測器

以下將线性时不变系统的倫伯傑觀測器（ Luenberger observer），修改為滑動模式觀測器。在滑動模式觀測器中，若進入滑動模式，觀測器動態的階數會減一。在以下例子中，單一估測狀態的狀態誤差可以在有限時間內收斂到零。Drakunov最早提出，非線性系統可以建立滑動模式觀測器，讓所有估測狀態的估測誤差都在有限時間（而且是任意短的時間內）收斂到零。

考慮以下的LTI系統

$\{\begin{array}{c}\dot{𝐱}=A𝐱+B𝐮\\ y=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & \end{array}\right]𝐱=x_1\end{array}$

其中狀態向量$𝐱\triangleq (x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$, $𝐮\triangleq (u_1,u_2,\dots ,u_r)\in {ℝ}^r$是輸入向量，輸出utput Template:Mvar是純量，等於$𝐱$狀態向量的第一個狀態。令

$A\triangleq \left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]$

其中

• $a_{11}$是純量，對應第一個狀態$x_1$對自己的影響
• $A_{21}\in {ℝ}^{(n-1)}$是-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量，對應第一個狀態對其他狀態的影響
• $A_{22}\in {ℝ}^{(n-1)\times (n-1)}$是矩陣，對應其他各狀態彼此之間的影響
• $A_{12}\in {ℝ}^{1\times (n-1)}$是-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-向量，對應其他狀態對第一個狀態的影響

目的是要設計高增益的狀態觀測器，可以在只有量測資訊$y=x_1$的情形下，估測狀態向量。因此，令向量$\widehat{𝐱}=({\hat{x}}_1,{\hat{x}}_2,\dots ,{\hat{x}}_n)\in {ℝ}^n$是Template:Mvar狀態的觀測值，觀測器的形式為

$\dot{\widehat{𝐱}}=A\widehat{𝐱}+B𝐮+Lv({\hat{x}}_1-x_1)$

其中$v:ℝ\to ℝ$是估測狀態${\hat{x}}_1$和輸出$y=x_1$之間誤差的非線性函數，$L\in {ℝ}^n$是估測器增益向量，其作用類似典型的線性狀態觀測器。同樣的，也令

$L=\left[\begin{array}{c}-1\\ L_2\end{array}\right]$

其中$L_2\in {ℝ}^{(n-1)}$是-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-向量。另外，令$𝐞=(e_1,e_2,\dots ,e_n)\in {ℝ}^n$是狀態估測誤差，也就是說$𝐞=\widehat{𝐱}-𝐱$。誤差的動態方程為

$\begin{array}{cc}\dot{𝐞}& =\dot{\widehat{𝐱}}-\dot{𝐱}\\ & =A\widehat{𝐱}+B𝐮+Lv({\hat{x}}_1-x_1)-A𝐱-B𝐮\\ & =A(\widehat{𝐱}-𝐱)+Lv({\hat{x}}_1-x_1)\\ & =A𝐞+Lv(e_1)\end{array}$

其中$e_1={\hat{x}}_1-x_1$是第一個狀態估測值的估測誤差。可以設計非線性控制律Template:Mvar控制滑動流形

$0={\hat{x}}_1-x_1$

使估測量${\hat{x}}_1$在有限時間內（也就是${\hat{x}}_1=x_1$）追到實際狀態$x_1$。因此，滑動控制切換函數為

$\sigma ({\hat{x}}_1,\hat{x})\triangleq e_1={\hat{x}}_1-x_1.$

為了要保持在滑動流形上，$\dot{\sigma }$和$\sigma$需永遠維持異號（$\sigma \dot{\sigma }<0$在幾乎處處$𝐱$都要成立）。 不過

$\dot{\sigma }={\dot{e}}_1=a_{11}{e}_1+A_{12}{𝐞}_2-v(e_1)=a_{11}{e}_1+A_{12}{𝐞}_2-v(\sigma )$

其中${𝐞}_2\triangleq (e_2,e_3,\dots ,e_n)\in {ℝ}^{(n-1)}$ 是所有無法量測狀態估測誤差的集合。為了要確保$\sigma \dot{\sigma }<0$，令

$v(\sigma )=M\mathrm{sgn}(\sigma )$

其中

$M>\max \{|a_{11}{e}_1+A_{12}{𝐞}_2|\}.$

也就是說，正的常數Template:Mvar需大於系統最可能估計誤差的純量。若Template:Mvar夠大，可以假設系統會達到$e_1=0$（也就是${\hat{x}}_1=x_1$）。因為在流形上$e_1$是常數（零），也可以推得${\dot{e}}_1=0$。因此不連續的控制律$v(\sigma )$可以用等效的連續控制律$v_{\text{eq}}$取代，其中

$0=\dot{\sigma }=a_{11}\stackrel{=0}{\overbrace{e_1}}+A_{12}{𝐞}_2-\stackrel{v(\sigma )}{\overbrace{v_{\text{eq}}}}=A_{12}{𝐞}_2-v_{\text{eq}}.$

因此

$\underset{\text{scalar}}{\underbrace{v_{\text{eq}}}}=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\times (n-1)}{\text{ vector}}}{\underbrace{A_{12}}}\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(n-1)\times 1}{\text{ vector}}}{\underbrace{{𝐞}_2}}.$

等效的控制律$v_{\text{eq}}$代表剩下的$(n-1)$個狀態對輸出狀態$x_1$軌跡的貢獻。-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量$A_{12}$類似以下誤差子系統的輸出向量

$\stackrel{{\dot{𝐞}}_2}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}{\dot{e}}_2\\ {\dot{e}}_3\\ ⋮\\ {\dot{e}}_n\end{array}\right]}}=A_2\stackrel{{𝐞}_2}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}{e}_2\\ e_3\\ ⋮\\ e_n\end{array}\right]}}+L_{2}v(e_1)=A_2{𝐞}_2+L_2{v}_{\text{eq}}=A_2{𝐞}_2+L_2{A}_{12}{𝐞}_2=(A_2+L_2{A}_{12}){𝐞}_2.$

為了確保未量測狀態的估測誤差${𝐞}_2$可以收斂到零，需選擇$(n-1)\times 1$向量$L_2$使得$(n-1)\times (n-1)$矩陣$(A_2+L_2{A}_{12})$是赫維茲矩陣（其特征值實部均為負數）。假設系統有可觀察性，可將$A_{12}$視為輸出矩陣（Template:Mvar），則${𝐞}_2$系統可以用和一般線性觀測器相同的方式來穩定。也就是說，$v_{\text{eq}}$的等效控制可以提供未觀測狀態的量測資訊，可以連續地將其估測值漸近的趨近實際值。平均來說，不連續的控制律$v=M\mathrm{sgn}({\hat{x}}_1-x)$強制量測信號的估測量在有限時間內達到零。而且，平均值為零的對稱量測雜訊（正态分布）只會影響控制律Template:Mvar的切換頻率，對等效滑動模式控制律$v_{\text{eq}}$的影響不大。因此，滑動模式觀測器有類似卡尔曼滤波的特性。

最終版本的觀測器為

$\begin{array}{cc}\dot{\widehat{𝐱}}& =A\widehat{𝐱}+B𝐮+LM\mathrm{sgn}({\hat{x}}_1-x_1)\\ & =A\widehat{𝐱}+B𝐮+\left[\begin{array}{c}-1\\ L_2\end{array}\right]M\mathrm{sgn}({\hat{x}}_1-x_1)\\ & =A\widehat{𝐱}+B𝐮+\left[\begin{array}{c}-M\\ L_{2}M\end{array}\right]\mathrm{sgn}({\hat{x}}_1-x_1)\\ & =A\widehat{𝐱}+\left[\begin{array}{cc}B& \left[\begin{array}{c}-M\\ L_{2}M\end{array}\right]\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}𝐮\\ \mathrm{sgn}({\hat{x}}_1-x_1)\end{array}\right]\\ & =A_{\text{obs}}\widehat{𝐱}+B_{\text{obs}}{𝐮}_{\text{obs}}\end{array}$

其中

• $A_{\text{obs}}\triangleq A,$
• $B_{\text{obs}}\triangleq \left[\begin{array}{cc}B& \left[\begin{array}{c}-M\\ L_{2}M\end{array}\right]\end{array}\right],$
• $u_{\text{obs}}\triangleq \left[\begin{array}{c}𝐮\\ \mathrm{sgn}({\hat{x}}_1-x_1)\end{array}\right].$

用切換函數$\mathrm{sgn}({\hat{x}}_1-x_1)$來輔助控制向量$𝐮$，滑動模式觀測器可以用LTI系統來表示。不連續信號$\mathrm{sgn}({\hat{x}}_1-x_1)$視為是雙輸入LTI的一個控制「輸入」。

為了簡化說明，這個例子假設滑動模式估測器可以量測單一狀態（例如，輸出$y=x_1$）。用類似的方式也可以用各狀態的加權平均（例如，輸出$𝐲=C𝐱$使用一般的矩陣Template:Mvar）來設計滑動模式估測器。此例子中，滑動模式就會是使估測輸出$\widehat{𝐲}$追隨量測輸出$𝐲$，沒有誤差的流形（使$\sigma (𝐱)\triangleq \widehat{𝐲}-𝐲=\mathrm{𝟎}$的流形）。

非線性滑動模式觀測器

Drakunov曾經提過，可以針對非線性系統設計滑動模式觀測器。此觀測器可以用原始變數的估測值$\hat{x}$表示，型式如下

$\dot{\hat{x}}={\left[\frac{\partial H(\hat{x})}{\partial x}\right]}^{-1}M(\hat{x})\mathrm{sgn}(V(t)-H(\hat{x}))$

其中：

• $\mathrm{sgn}(\cdot )$向量將符號函數延伸到$n$維。也就是說

  $\mathrm{sgn}(z)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{sgn}(z_1)\\ \mathrm{sgn}(z_2)\\ ⋮\\ \mathrm{sgn}(z_i)\\ ⋮\\ \mathrm{sgn}(z_n)\end{array}\right]$

  針對向量$z\in {ℝ}^n$.

• 向量$H(x)$的分量是輸出函數$h(x)$以及其各階李導數。其中

  $H(x)\triangleq \left[\begin{array}{c}{h}_1(x)\\ h_2(x)\\ h_3(x)\\ ⋮\\ h_n(x)\end{array}\right]\triangleq \left[\begin{array}{c}h(x)\\ L_{f}h(x)\\ L_f^{2}h(x)\\ ⋮\\ L_f^{n-1}h(x)\end{array}\right]$

  其中$L_f^{i}h$是$h$沿著向量場$f$（也就是沿著非線性系統的$x$軌跡）的i階李导数。在此特例中，系統沒有輸入，也沒有相對次數（relative degree）n，$H(x(t))$是輸出$y(t)=h(x(t))$以及其$n-1$次導數的集合。因為$H(x)$Jacobian線性化的倒數存在（讓觀測器可以有良好定義），$H(x)$的轉換保證是局部的微分同胚。

• 增益對角矩陣 $M(\hat{x})$ 會使下式成立

  $M(\hat{x})\triangleq \mathrm{diag}(m_1(\hat{x}),m_2(\hat{x}),\dots ,m_n(\hat{x}))=\left[\begin{array}{cccccc}{m}_1(\hat{x})& & & & & \\ & m_2(\hat{x})& & & & \\ & & \ddots & & & \\ & & & m_i(\hat{x})& & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & m_n(\hat{x})\end{array}\right]$

  其中，針對每一個$i\in \{1,2,\dots ,n\}$，元素$m_i(\hat{x})>0$ 　而且夠大，以保證會碰到滑動模式。

• 觀測器向量$V(t)$會滿足下式

  $V(t)\triangleq \left[\begin{array}{c}{v}_1(t)\\ v_2(t)\\ v_3(t)\\ ⋮\\ v_i(t)\\ ⋮\\ v_n(t)\end{array}\right]\triangleq \left[\begin{array}{c}y(t)\\ \{m_1(\hat{x})\mathrm{sgn}(v_1(t)-h_1(\hat{x}(t))){\}}_{\text{eq}}\\ \{m_2(\hat{x})\mathrm{sgn}(v_2(t)-h_2(\hat{x}(t))){\}}_{\text{eq}}\\ ⋮\\ \{m_{i-1}(\hat{x})\mathrm{sgn}(v_{i-1}(t)-h_{i-1}(\hat{x}(t))){\}}_{\text{eq}}\\ ⋮\\ \{m_{n-1}(\hat{x})\mathrm{sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}(\hat{x}(t))){\}}_{\text{eq}}\end{array}\right]$

  其中的$\mathrm{sgn}(\cdot )$是正常對純量定義的符号函数，而$\{\dots {\}}_{\text{eq}}$是不連續函數在滑動模式下的「等效值運算子」。

概念可以說明如下：依照滑動模式的理論，為了要描述系統特性，只要開始進入滑動模式，函數$\mathrm{sgn}(v_i(t)-h_i(\hat{x}(t)))$就需要改為定效的值實務上，函數會高頻的切換，其慢速的成份會和等效值相等。應用適當的低通濾波器可以濾掉高頻成份，得到等效值，其中也會有較多有關估測系統狀態的資訊。以下的觀測器用了幾次上述的作法，在有限時間內會得到非線性系統的狀態。

修改後的估測器誤差以用轉換後的狀態$e=H(x)-H(\hat{x})$表示。

$\begin{array}{cc}\dot{e}& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}H(x)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}H(\hat{x})\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}H(x)-M(\hat{x})\mathrm{sgn}(V(t)-H(\hat{x}(t))),\end{array}$

而且

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{c}{\dot{e}}_1\\ {\dot{e}}_2\\ ⋮\\ {\dot{e}}_i\\ ⋮\\ {\dot{e}}_{n-1}\\ {\dot{e}}_n\end{array}\right]& =\stackrel{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}H(x)}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}{\dot{h}}_1(x)\\ {\dot{h}}_2(x)\\ ⋮\\ {\dot{h}}_i(x)\\ ⋮\\ {\dot{h}}_{n-1}(x)\\ {\dot{h}}_n(x)\end{array}\right]}}-\stackrel{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}H(\hat{x})}{\overbrace{M(\hat{x})\mathrm{sgn}(V(t)-H(\hat{x}(t)))}}=\left[\begin{array}{c}{h}_2(x)\\ h_3(x)\\ ⋮\\ h_{i+1}(x)\\ ⋮\\ h_n(x)\\ L_f^{n}h(x)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{m}_1\mathrm{sgn}(v_1(t)-h_1(\hat{x}(t)))\\ m_2\mathrm{sgn}(v_2(t)-h_2(\hat{x}(t)))\\ ⋮\\ m_i\mathrm{sgn}(v_i(t)-h_i(\hat{x}(t)))\\ ⋮\\ m_{n-1}\mathrm{sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}(\hat{x}(t)))\\ m_n\mathrm{sgn}(v_n(t)-h_n(\hat{x}(t)))\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}{h}_2(x)-m_1(\hat{x})\mathrm{sgn}(\stackrel{e_1}{\overbrace{\stackrel{v_1(t)=y(t)=h_1(x)}{\overbrace{v_1(t)}}-h_1(\hat{x}(t))}})\\ h_3(x)-m_2(\hat{x})\mathrm{sgn}(v_2(t)-h_2(\hat{x}(t)))\\ ⋮\\ h_{i+1}(x)-m_i(\hat{x})\mathrm{sgn}(v_i(t)-h_i(\hat{x}(t)))\\ ⋮\\ h_n(x)-m_{n-1}(\hat{x})\mathrm{sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}(\hat{x}(t)))\\ L_f^{n}h(x)-m_n(\hat{x})\mathrm{sgn}(v_n(t)-h_n(\hat{x}(t)))\end{array}\right].\end{array}$

因此

1. 只要$m_1(\hat{x})\ge |h_2(x(t))|$, 誤差動態的第一個-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-${\dot{e}}_1=h_2(\hat{x})-m_1(\hat{x})\mathrm{sgn}(e_1)$，會符合在有限時間進入$e_1=0$滑動模式的充份條件。
2. 在$e_1=0$表面上，對應的$v_2(t)=\{m_1(\hat{x})\mathrm{sgn}(e_1){\}}_{\text{eq}}$等效控制會等於$h_2(x)$，因此$v_2(t)-h_2(\hat{x})=h_2(x)-h_2(\hat{x})=e_2$。只要$m_2(\hat{x})\ge |h_3(x(t))|$，誤差動態的第二個-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-${\dot{e}}_2=h_3(\hat{x})-m_2(\hat{x})\mathrm{sgn}(e_2)$，會在有限時間內進入$e_2=0$滑動模式。
3. 在$e_i=0$表面上，對應的$v_{i+1}(t)=\{\dots {\}}_{\text{eq}}$等效控會等於$h_{i+1}(x)$。只要$m_{i+1}(\hat{x})\ge |h_{i+2}(x(t))|$，誤差動態的第$(i+1)$個-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-${\dot{e}}_{i+1}=h_{i+2}(\hat{x})-m_{i+1}(\hat{x})\mathrm{sgn}(e_{i+1})$，會在有限時間內進入$e_{i+1}=0$滑動模式。

對於足夠大的$m_i$增益，所有的觀測器估測狀態都會在有限時間內到實際的狀態。只要$|h_i(x(0))|$有確定的上下界，增加$m_i$，可以在任意時間內讓估測狀態收斂。因此映射$H:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$是微分同胚（也就是其Jacobian 線性化可逆）可以保證，若估測輸出的收斂，就意味著估測狀態的收斂。因此此要求是可觀察性的條件。

若針對有輸入系統的滑動模型觀測器，會需要額外的條件，其估測誤差和輸入無關。例如

$\frac{\partial H(x)}{\partial x}B(x)$

和時間無關。則觀測器為

$\dot{\hat{x}}={\left[\frac{\partial H(\hat{x})}{\partial x}\right]}^{-1}M(\hat{x})\mathrm{sgn}(V(t)-H(\hat{x}))+B(\hat{x})u.$