贝特朗判别法

贝特朗判别法（Template:Lang-en）是正项级数敛散性的一种判别方法，分析通过级数项作成的形如$(n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1)\ln n$序列的极限，可以更为精细地讨论级数的收敛性，可以看作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法或Template:Link-en的推论。 Template:ScienceNavigation

定理

设$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$是欲判断敛散性的级数，定义序列

${ℬ}_n=(n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1)\ln n.$

设它具有极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{ℬ}_n=ℬ$

那么：

• 倘若$ℬ>1$，级数收敛；
• 倘若$ℬ<1$，级数发散；
• 倘若$ℬ=1$，则级数的敛散性暂时不能确定。

证明

在Template:Link-en中取$c_n=n\ln n(n\ge 2)$，这样的选取是可以允许的，因为级数$\sum \frac{1}{n\ln n}$发散。

在这情形下有${𝒦}_n=n\ln n\cdot \frac{a_n}{a_{n+1}}-(n+1)\ln (n+1)$。

也可以表示成${𝒦}_n=\ln n[n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1]-\ln {(1+\frac{1}{n})}^{n+1}={ℬ}_n-\ln {(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$。

其中${ℬ}_n=\ln n[n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1]=\ln n\cdot ({ℛ}_n-1)$，这就得到了贝特朗判别法。