LQG控制

Template:NoteTA LQG控制（linear–quadratic–Gaussian control）的全名是線性二次高斯控制，是控制理论中的基礎最优控制問題之一。此問題和存在加性高斯白噪声的線性系統有關。此問題是要找到最佳的輸出回授律，可以讓二次費用函數的期望值最小化。其輸出量測假設受到高斯噪声的影響，其初值也是高斯隨機向量。

在「使用線性控制律」的最佳控制假設下，可以用completion-of-squares論述進行推導。此控制律即為LQG控制器，就是卡尔曼滤波（線性二次狀態估測器，LQE）和LQR控制器的結合。分離原理指出狀態估測器和狀態回授可以獨立設計。LQG控制可以應用在线性时不变系统及线性時變系統，產生容易計算以及實現的線性動態回授控制器。LQG控制器本身是一個類似其受控系統的動態系統，兩者有相同的維度。

根據分離原理，在一些範圍較寬可能是非線性的控制器中，LQG控制器仍然是最佳的。也就是說「使用非線性控制架構不一定可以改善費用泛函的期望值」。這個版本的分離原理是Template:Le（separation principle of stochastic control）提到就算過程及輸出雜訊源可能是非高斯鞅，只要其系統動態是線性的，其最佳控制仍可以分離為最佳狀態估測器（不再是卡尔曼滤波器）及LQR控制器。LQR控制器也有用來控制擾動的非線性系統。

問題和解的數學描述

連續時間

考慮連續時間的線性動態系統

$\dot{𝐱}(t)=A(t)𝐱(t)+B(t)𝐮(t)+𝐯(t),$

$𝐲(t)=C(t)𝐱(t)+𝐰(t),$

其中$𝐱$是系統狀態變數的向量，$𝐮$是控制輸入向量，$𝐲$是輸出量測值的向量，可用在回授上。系統受到加成性的高斯系統雜訊$𝐯(t)$及加成性的高斯量測雜訊$𝐰(t)$所影響。給定一系統，其目標是找到一控制輸入$𝐮(t)$，此控制輸入在每個時間$t$下，和以往的量測量$𝐲(t^{\prime }),0\le t^{\prime }<t$有線性關係，而且此控制輸入可以讓以下的費用函數有最小值：

$J=𝔼[{𝐱}^{\mathrm{T}}(T)F𝐱(T)+\underset{0}{\overset{T}{\int }}{𝐱}^{\mathrm{T}}(t)Q(t)𝐱(t)+{𝐮}^{\mathrm{T}}(t)R(t)𝐮(t)dt],$

$F\ge 0,Q(t)\ge 0,R(t)>0,$

其中$𝔼$為期望值。最終時間（horizon）$T$可能是有限值或是無限值。若最終時間為無限，則費用函數的第一項${𝐱}^{\mathrm{T}}(T)F𝐱(T)$可以忽略，和問題無關。而為了要讓費用函數為有限值，會定義費用函數為$J/T$。

求解上述LQG問題的LQG控制器可以用以下方程表示：

$\dot{\widehat{𝐱}}(t)=A(t)\widehat{𝐱}(t)+B(t)𝐮(t)+L(t)(𝐲(t)-C(t)\widehat{𝐱}(t)),\widehat{𝐱}(0)=𝔼[𝐱(0)],$

$𝐮(t)=-K(t)\widehat{𝐱}(t).$

矩陣$L(t)$稱為卡尔曼增益（Kalman gain），和第一個方程卡尔曼滤波有關。在時間$t$，濾波器會根據過去量測及輸入來產生狀態$𝐱(t)$的估測值$\widehat{𝐱}(t)$。卡尔曼增益$L(t)$是根據$A(t),C(t)$、二個和白色高斯雜訊有關密度矩陣$𝐯(t)$、$𝐰(t)$及最後的$𝔼[𝐱(0){𝐱}^{\mathrm{T}}(0)]$來計算。這五個矩陣會透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定卡尔曼增益：

$\dot{P}(t)=A(t)P(t)+P(t)A^{\mathrm{T}}(t)-P(t)C^{\mathrm{T}}(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t),$

$P(0)=𝔼[𝐱(0){𝐱}^{\mathrm{T}}(0)].$

假設其解$P(t),0\le t\le T$，則卡尔曼增益等於

$L(t)=P(t)C^{\mathrm{T}}(t)W^{-1}(t).$

矩陣$K(t)$稱為回授增益（feedback gain）矩陣，是由$A(t),B(t),Q(t),R(t)$及$F$矩陣，透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定

$-\dot{S}(t)=A^{\mathrm{T}}(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B^{\mathrm{T}}(t)S(t)+Q(t),$

$S(T)=F.$

假設其解$S(t),0\le t\le T$，回授增益等於

$K(t)=R^{-1}(t)B^{\mathrm{T}}(t)S(t).$

觀察上述二個矩陣Riccati微分方程，第一個沿時間從前往後算，而第二個是沿時間從後往前算，這稱為「對偶性」。第一個矩陣Riccati微分方程解了線性平方估測問題（LQE），第二個矩陣Riccati微分方程解了LQR控制器問題。這二個問題是對偶的，合起來就解了線性平方高斯控制問題（LQG)，因此LQG問題分成了LQE問題以及LQR問題，且可以獨立求解，因此LQG問題是「可分離的」。

當$A(t),B(t),C(t),Q(t),R(t)$和雜訊密度矩陣$V(t)$, $W(t)$不隨時間變化$t$，且$T$趨於無限大時，LQG控制器會變成非時變動態系統。此時上述二個矩陣Riccati微分方程會變成代數Riccati方程。

離散時間

離散時間的LQG控制問題和連續時間下的問題相近，因此以下只關注其數學式。

離散時間的線性系統方程為

${𝐱}_{i+1}=A_i{𝐱}_i+B_i{𝐮}_i+{𝐯}_i,$

${𝐲}_i=C_i{𝐱}_i+{𝐰}_i.$

其中$i$是離散時間，${𝐯}_i,{𝐰}_i$是離散時間高斯白雜訊過程，其共變異數矩陣為$V_i,W_i$。

要最小化的二次費用函數為

$J=𝔼[{𝐱}_N^{\mathrm{T}}F{𝐱}_N+\sum _{i=0}^{N-1}({𝐱}_i^{\mathrm{T}}{Q}_i{𝐱}_i+{𝐮}_i^{\mathrm{T}}{R}_i{𝐮}_i)],$

$F\ge 0,Q_i\ge 0,R_i>0.$

離散時間的LQG控制器為

${\widehat{𝐱}}_{i+1}=A_i{\widehat{𝐱}}_i+B_i{𝐮}_i+L_{i+1}({𝐲}_{i+1}-C_{i+1}\{A_i{\widehat{𝐱}}_i+B_i{u}_i\}),{\widehat{𝐱}}_0=𝔼[{𝐱}_0]$,

${𝐮}_i=-K_i{\widehat{𝐱}}_i.$

卡尔曼增益等於

$L_i=P_i{C}_i^{\mathrm{T}}(C_i{P}_i{C}_i^{\mathrm{T}}+W_i{)}^{-1},$

其中$P_i$是由以下依時間往前進的矩陣Riccati差分方程所決定：

$P_{i+1}=A_i(P_i-P_i{C}_i^{\mathrm{T}}{(C_i{P}_i{C}_i^{\mathrm{T}}+W_i)}^{-1}{C}_i{P}_i)A_i^{\mathrm{T}}+V_i,P_0=𝔼({𝐱}_0-{\widehat{𝐱}}_0){({𝐱}_0-{\widehat{𝐱}}_0)}^{\mathrm{T}}.$

回授增益矩陣為

$K_i=(B_i^{\mathrm{T}}{S}_{i+1}{B}_i+R_i{)}^{-1}{B}_i^{\mathrm{T}}{S}_{i+1}{A}_i$

\ 其中$S_i$是由以下時間從後往前算的矩陣Riccati差分方程所決定：

$S_i=A_i^{\mathrm{T}}(S_{i+1}-S_{i+1}{B}_i{(B_i^{\mathrm{T}}{S}_{i+1}{B}_i+R_i)}^{-1}{B}_i^{\mathrm{T}}{S}_{i+1})A_i+Q_i,S_N=F.$

若問題中所有的矩陣都是非時變的，且時間長度$N$趨近無窮大，則離散時間的LQG控制器就是非時變的。此時矩陣Riccati差分方程可以用離散時間的代數Riccati方程取代。可以決定非時變的離散線性二次估測器，以及非時變的離散LQR控制器。為了讓費用是有限值，會用$J/N$來代替$J$。

降階LQG問題

在傳統LQG設定中，當系統維度很大時，實現LQG控制器會有困難。降階LQG問題（reduced-order LQG problem）也稱為固定階數LQG問題（fixed-order LQG problem）先設定了LQG控制的狀態數。因為分離原理已不適用，此問題會更不容易求解，而且其解也不唯一。即使如此，降階LQG問題已有不少的數值演算法可以求解相關的最佳投影方程（optimal projection equations），其中建構了局部最佳化的降階LQG問題的充份及必要條件。

LQG控制的強健性

LQG最佳化本身不確保有良好的強健性，需要在設計好LQG控制後，另外確認閉迴路系統的強健穩定性。為了提昇系統的強健性，可能會將一些系統參數由確定值改假設是隨機值。相關的控制問題會更加複雜，會得到一個類似的最佳控制器，只有控制器參數不同。

相關條目

• 隨機控制
• Witsenhausen反例

延伸閱讀

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