標準差

图中红蓝两组数据平均值相同，但标准差不同。红色数据的标准差较蓝色数据的标准差要小。

標準差，又稱標準偏-{}-差、-{均方差}- （Template:Lang-en，縮寫Template:Lang，符號Template:Lang），在概率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義：為方差開算术平方根，反映组内個體間的離散程度；標準差與期望值之比為標準離差率。測量到分佈程度的結果，原則上具有兩種性質：

1. 為非負數值（因為平方後再做平方根）；
2. 與測量資料具有相同單位（這樣才能比對）。

一個總量的標準差或一個隨機變數的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。

標準差的概念由卡爾·皮爾森引入到統計中。

闡述及應用

簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差。

表述“相差$k$个标准差”，即在 $\bar{X}\pm kS$ 的样本（sample）范围内考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。

母體的標準差

基本定義

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2}$

$\mu$为平均值。

简化计算公式

上述公式可以如下代換而簡化：

$\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^N(X_i-\mu {)}^2& =\sum _{i=1}^N(X_i^2-2X_i\mu +{\mu }^2)\\ & =\left(\sum _{i=1}^N{X}_i^2\right)-\left(2\mu \sum _{i=1}^N{X}_i\right)+N{\mu }^2\\ & =\left(\sum _{i=1}^N{X}_i^2\right)-2\mu (N\mu )+N{\mu }^2\\ & =\left(\sum _{i=1}^N{X}_i^2\right)-2N{\mu }^2+N{\mu }^2\\ & =\left(\sum _{i=1}^N{X}_i^2\right)-N{\mu }^2\end{array}$

所以：

$\begin{array}{cc}\sigma & =\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(X_i-\mu {)}^2}\\ & =\sqrt{\frac{1}{N}\left(\sum _{i=1}^N{X}_i^2\right)-\frac{1}{N}N{\mu }^2}\\ & =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^N{X}_i^2}{N}-{\mu }^2}\end{array}$

根號裡面，亦即變異數（${\sigma }^2$）的簡易口訣為：「平方的平均」減去「平均的平方」。

母體為随机变量

一隨機變量$X$的標準差定義為：

$\sigma =\sqrt{\mathrm{E}((X-\mathrm{E}(X){)}^2)}=\sqrt{\mathrm{E}(X^2)-(\mathrm{E}(X){)}^2}$

須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在期望值。 如果隨機變量$X$為$x_1,\cdots ,x_n$具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。

離散随机变量的标准差

若$X$是由實數$x_1,x_2,...,x_n$構成的離散隨機變數（Template:Lang-en），且每個值的機率相等，則$X$的標準差定義為：

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{N}[(x_1-\mu {)}^2+(x_2-\mu {)}^2+\cdots +(x_N-\mu {)}^2]}$　，其中　$\mu =\frac{1}{N}(x_1+\cdots +x_N)$

換成用$\sum$來寫，就成為：

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2}$　，其中　$\mu =\frac{1}{N}(x_1+\cdots +x_N)$

目前為止，與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個$x_i$可以有不同機率$p_i$，則$X$的标准差定義為：

$\sigma =\sqrt{\sum _{i=1}^N{p}_i(x_i-\mu {)}^2}$　，其中　$\mu =\sum _{i=1}^N{p}_i{x}_i.$

这里，$\mu$为$X$的数学期望。

连续随机变量的标准差

若$X$為概率密度$p(X)$的连续随机变量（Template:Lang-en），則$X$的标准差定義為：

$\sigma =\sqrt{\int (x-\mu {)}^{2}f(x)dx}$

其中$\mu$为$X$的数学期望：

$\mu =\int xf(x)dx$

标准差的特殊性质

对于常数$c$和随机变量$X$和$Y$：

$\sigma (X+c)=\sigma (X)$

$\sigma (cX)=c\cdot \sigma (X)$

$\sigma (X+Y)=\sqrt{{\sigma }^2(X)+{\sigma }^2(Y)+2\cdot \text{cov}(X,Y)}$

其中：

• $\text{cov}(X,Y)$表示随机变量$X$和$Y$的协方差。
• ${\sigma }^2(X)$表示$[\sigma (X){]}^2$，即$Var(X)$（$X$的變異數），對$Y$亦同。

样本的标准差

在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差並不實際。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

從一大組數值$X_1,\cdots ,X_N$當中取出一樣本數值組合$x_1,\cdots ,x_n:n<N$，常定義其樣本標準差：

$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}$

样本方差$s^2$是对总体方差${\sigma }^2$的无偏估计。之所以$s$中的分母要用$n-1$而不是像总体样本差那样用$n$，是因为$(x_i-\overline{x})$的自由度为$n-1$，这是由于存在约束条件$\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})=0$。

範例

這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{5, 6, 8, 9}：

• 第一步，計算平均值$\bar{x}$︰

$\bar{x}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i$

當$\begin{array}{c}N=4\end{array}$（因為集合裏有4個數），分別設為：

$\begin{array}{cc}{x}_1& =5,\\ x_2& =6,\\ x_3& =8,\\ x_4& =9,\end{array}$

則平均值為

$\begin{array}{ccc}\bar{x}& =\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4{x}_i& (N=4)\\ & =\frac{1}{4}(x_1+x_2+x_3+x_4)\\ & =\frac{1}{4}(5+6+8+9)\\ & =7.\end{array}$

• 第二步，計算標準差$\sigma$︰

$\begin{array}{cc}\sigma & =\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4(x_i-\bar{x}{)}^2}& (N=4)\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4(x_i-7{)}^2}& (\bar{x}=7)\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}[(x_1-7{)}^2+(x_2-7{)}^2+(x_3-7{)}^2+(x_4-7{)}^2]}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}[(5-7{)}^2+(6-7{)}^2+(8-7{)}^2+(9-7{)}^2]}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}((-2{)}^2+(-1{)}^2+1^2+2^2)}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}(4+1+1+4)}\\ & =\sqrt{\frac{10}{4}}\\ & \approx 1.58114.\end{array}$

常態分佈的規則

深藍區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍，在常態分佈中，此範圍所佔比率為全部數值之68%；兩個標準差之內（深藍，藍）的比率合起來為95%；三個標準差之內（深藍，藍，淺藍）的比率合起來為99.7%。

在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約68%數值分佈在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約95%數值分佈在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約99.7%數值分佈在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。

$f(x;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$

$\text{Proportion}=\mathrm{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)$

$\text{Proportion}\le x=\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{x-\mu }{\sigma \sqrt{2}}\right)]=\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)]$.

Percentage within(z)

z(Percentage within)

數字比率 標準差值	機率	包含之外比例
	百分比	百分比	比例
0.318 639σ	25%	75%	3 / 4
Template:Valσ	Template:Val%	Template:Val%	1 / Template:Val
Template:Valσ	68%	32%	1 / 3.125
1σ	Template:Val%	Template:Val%	1 / Template:Val
Template:Valσ	80%	20%	1 / 5
Template:Valσ	90%	10%	1 / 10
Template:Valσ	95%	5%	1 / 20
2σ	Template:Val%	Template:Val%	1 / Template:Val
Template:Valσ	99%	1%	1 / 100
3σ	Template:Val%	Template:Val%	1 / 370.398
Template:Valσ	99.9%	0.1%	1 / Template:Val
Template:Valσ	99.99%	0.01%	1 / Template:Val
4σ	Template:Val%	Template:Val%	1 / Template:Val
Template:Valσ	99.999%	0.001%	1 / Template:Val
Template:Valσ	Template:Gaps	Template:Gaps	1 / Template:Val 3.4 / Template:Val (每一邊)
Template:Valσ	Template:Val%	Template:Val%	1 / Template:Val
5σ	Template:Val%	Template:Val%	1 / Template:Val
Template:Valσ	Template:Val%	Template:Val%	1 / Template:Val
Template:Valσ	Template:Val%	Template:Val%	1 / Template:Val
[[六標準差#西格玛等级|Template:Valσ]]	Template:Val%	Template:Val%	1 / Template:Val
Template:Valσ	Template:Val%	Template:Val%	1 / Template:Val
Template:Valσ	Template:Val%	Template:Val%	1 / Template:Val
Template:Valσ	Template:Val%	Template:Val%	1 / Template:Val
7σ	Template:Gaps	Template:Val%	1 / Template:Val

標準差與平均值之間的關係

一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说，如果用平均值來考量數值的中心的话，則標準差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為：設$X_1,\cdots ,X_N$為實數，定義函数：

$\sigma (\mu )=\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2}$

使用微積分或者通过配方法，不難算出$\sigma (\mu )$在下面情況下具有唯一最小值：

$\mu =\bar{x}$

几何学解释

从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从$n$维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，$X_1,X_2,X_3$。它们可以在3维空间中确定一个点$P=(X_1,X_2,X_3)$。想像一条通过原点的直线$L=(r,r,r):r\in ℝ$。如果这组数据中的3个值都相等，则点$P$就是直线$L$上的一个点，$P$到$L$的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点$P$作垂线$PR$垂直于$L$，$PR$交$L$于点$R$，则$R$的坐标为这3个值的平均数：

$R=(\bar{x},\bar{x},\bar{x})$

运用一些代数知识，不难发现点$P$与点$R$之间的距离（也就是点$P$到直线$L$的距离）是$\sigma \sqrt{3}$。在$n$维空间中，这个规律同样适用，把$3$换成$n$就可以了。

外部链接

• Standard Deviation Calculator，标准差计算器 Template:En