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'''ZFC系統無法確定的命題列表'''乃一數學命題列表。在[[策梅洛-弗兰克尔集合论|ZFC]]系統（ZF公理加上[[选择公理]]，[[公理化集合论]]之典範）被假設為[[一致性 (邏輯)|相容]]的前提下，以下的[[數學]]命題被證明了與ZFC系統彼此獨立。與ZFC獨立（有時稱為在ZFC中不能確定）乃指該命題不能從ZFC的公理出發而被證明或證否。

==公理化集合论==

[[1931年]]，[[库尔特·哥德尔]]證明了第一個ZFC獨立結果，其為「ZFC本身之相容性，乃獨立於ZFC」（[[哥德尔不完备定理]]）。

而以下命題亦獨立於ZFC：

[[File:Implication Chains of Undecidable ZFC Statements.png|thumb|推導鏈之圖解]]

*[[连续统假设]]（或稱CH；哥德尔製造了一個CH為真的ZFC模型，繼而證明了CH不能在ZFC中被證否；[[保罗·寇恩]]其後發明了[[力迫|力迫法]]去展示了一個CH為假的ZFC模型，證明了CH不能在ZFC中被證明；以下4條獨立性結果亦是來自哥德尔/寇恩。）；
* [[连续统假设#广义连续统假设|广义连续统假设]] (GCH); 
* {{link-en|可構造性公理|Axiom of constructibility}} （{{lang|en|Axiom of constructibility}}）(''V'' = ''L''); 
* [[鑽石原則]] （{{lang|en|Diamond principle}}）(◊);
* [[馬丁公理]] （{{lang|en|Martin's axiom}}）(MA);
* MA + ¬CH. (獨立性由Robert M. Solovay及Stanley Tennenbaum證明<ref>{{cite book|last=Kunen|first=Kenneth|authorlink=Kenneth Kunen|title=Set Theory: An Introduction to Independence Proofs|url=https://archive.org/details/settheoryintrodu0000kune|publisher=Elsevier|year=1980|isbn=0-444-86839-9}}</ref>）

我們有以下之推導鏈：

:''V'' = ''L'' → ◊ → CH.
:''V'' = ''L'' → GCH → CH.
:CH → MA

另一個亦為獨立於ZFC的命題是：

如果集合''S'' 的元素少於集合''T''（在[[势 (数学)|勢]]的意義上），那麼''S''的[[子集合]]少於''T''。

好一些與[[大基數]]存在性有關的命題，並不能在ZFC中被證明（以ZFC為相容的前提下）。它們與ZFC的彼此獨立，以ZFC的相容性為前提，而這是大部份集合論學者所相信的情況。這些命題可以足夠強以致能證明ZFC的相容性。這亦帶出了它們與ZFC相容並不能被ZFC所證明（透過[[哥德尔不完备定理]]）的結果。以下這些命題皆歸入此類：

* [[不可達基數]]的存在性
* Mahlo基数的存在性
* [[可測基數]]（{{lang|en|measurable cardinal}}）（首先由[[斯塔尼斯拉夫·乌拉姆|烏拉姆]]所猜想）的存在性
* {{link-en|超緊致基數|supercompact cardinal}}（{{lang|en|supercompact cardinal}}）的存在性

===假設合適大基數相容的情況下===

若默认了一个合适的大基数的相容性，那么以下命题可以被证明是独立于ZFC公理的：
* {{tsl|en|Proper forcing axiom||Proper forcing axiom}}
* {{tsl|en|Open coloring axiom||Open coloring axiom}}
* {{tsl|en|Martin's maximum||Martin's maximum}}
* Existence of {{tsl|en|zero sharp||0<sup>#</sup>}}
* {{tsl|en|Singular cardinals hypothesis||Singular cardinals hypothesis}}
* {{tsl|en|Projective determinacy||射影決定性}}（在不假定[[选择公理]]的狀況下，甚至完全的[[決定公理]]也適用此）

==實數線上的集合論==
有很多[[實數線]]上的[[基數函數|基數不變量]]跟[[测度|测度理論]]與[[贝尔纲定理]]相關的好些命題有所連結，而其獨立於ZFC。當非平凡的關係可以在他們之間被證明，大部份的基數不變量皆介於[[阿列夫數#阿列夫1|ℵ<sub>1</sub>]]與[[连续统的势|2<sup>ℵ<sub>0</sub></sup>]]之間。這是一個實數線集合論的主要研究範圍（見Cichoń's diagram）。MA有一個趨勢使得大部份有趣的基數不變量皆等於2<sup>ℵ<sub>0</sub></sup>。

A subset ''X'' of the real line is a {{tsl|en|strong measure zero set||strong measure zero set}} if to every sequence (&epsilon;<sub>''n''</sub>) of positive reals there exists a sequence of intervals (''I<sub>n</sub>'') which covers ''X'' and such that ''I<sub>n</sub>'' has length at most &epsilon;<sub>''n''</sub>. Borel's conjecture, that every strong measure zero set is countable, is independent of ZFC.

A subset ''X'' of the real line is <math>\aleph_1</math>-dense if every open interval contains <math>\aleph_1</math>-many elements of ''X''. Whether all <math>\aleph_1</math>-dense sets are order-isomorphic is independent of ZFC.<ref>Baumgartner, J., All <math>\aleph_1</math>-dense sets of reals can be isomorphic, Fund. Math. 79, pp.101 – 106, 1973</ref>

==序理论==
[[蘇斯林問題]]（{{lang|en|Suslin's problem}}）提出一個指定的特性列表能否刻画一個實數'''R'''的有序集合。這是在ZFC中未決的<ref>{{cite journal|title=Iterated Cohen extensions and Souslin's problem|last=Solovay|first=R. M.|author2=Tennenbaum, S. |journal=Annals of Mathematics. Second Series|volume=94|issue=2|year=1971|pages=201–245|doi=10.2307/1970860|jstor=1970860}}</ref>。 一条 ''Suslin line'' 是指一个满足该指定的特性列表但不与'''R'''序同构的有序集。[[鑽石原則]]證明了Suslin line的存在性，而MA + ¬CH 推導出EATS（every Aronszajn tree is special；每一個Aronszajn tree皆為特別）<ref>Baumgartner, J., J. Malitz, and W. Reiehart, Embedding trees in the rationals, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 67, pp. 1746 – 1753, 1970</ref>， 而推導出（但不等價於）<ref>Shelah, S., Free limits of forcing and more on Aronszajn trees, Israel Journal of Mathematics, 40, pp. 1 – 32, 1971</ref>Suslin line的不存在性。Ronald Jensen證明了CH並不推出Suslin line的存在性<ref>Devlin, K., and H. Johnsbraten, The Souslin Problem, Lecture Notes on Mathematics 405, Springer, 1974</ref>。

假設[[不可達基數]]的相容性之前提下，Kurepa tree的存在性與ZFC獨立<ref>Silver, J., The independence of Kurepa's conjecture and two-cardinal conjectures in model theory, in Axiomatic Set Theory, Proc. Symp, in Pure Mathematics (13) pp. 383 – 390, 1967</ref>。

Existence of a partition of the [[序数]] <math>\omega_2</math> into two colors with no monochromatic uncountable sequentially closed subset is independent of ZFC, ZFC + CH, and ZFC + ¬CH, assuming consistency of a {{tsl|en|Mahlo cardinal||Mahlo cardinal}}.<ref>Shelah, S., Proper and Improper Forcing, Springer 1992</ref><ref>Schlindwein, Chaz, Shelah's work on non-semiproper iterations I, Archive for Mathematical Logic (47) 2008 pp. 579 – 606</ref><ref>Schlindwein, Chaz, Shelah's work on non-semiproper iterations II, Journal of Symbolic Logic (66) 2001, pp. 1865 – 1883</ref>  This theorem of {{tsl|en|Saharon Shelah||Shelah}} answers a question of {{tsl|en|Harvey Friedman||H. Friedman}}.

==抽象代数==

==数论==

『一個人能否寫下一個具體的多項式''p'' &isin; '''Z'''[''x''<sub>1</sub>,...''x''<sub>9</sub>]使得命題「存在著整數''m''<sub>1</sub>,...,''m''<sub>9</sub> 使得 ''p''(''m''<sub>1</sub>,...,''m''<sub>9</sub>)=0」』為無法被ZFC證明或證否（假設ZFC相容）<ref>{{cite journal|author=James P. Jones|title=Undecidable diophantine equations|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=3|number=2|year=1980|pages=859–862|url=http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.bams/1183547548|doi=10.1090/s0273-0979-1980-14832-6}}</ref>。這來自[[尤里·马季亚谢维奇]]對[[希爾伯特第十問題]]的解析；這多項式被建構使得它有整數根若且唯若ZFC乃不相容。

==测度理論==

[[富比尼定理]]對於正函數的一個更強版本，當中該函數不再假設為[[测度|可被測度]]而僅僅那2個{{link-en|迭代積分|Iterated integral}}（{{lang|en|Iterated integral}}）有明確定義並存在，為獨立於ZFC。另一方面，CH意味了存在著一個單位平方上的函數，其迭代積分不相等——該函數只為「等價於勢ω<sub>1</sub>[[良序关系]]的[0, 1]序」之[[指示函数]]。類似例子可以以MA去構建。另一方面，強富比尼定理的相容性由Harvey Friedman首次展示<ref>{{cite journal |first=Harvey |last=Friedman |year=1980 |title=A Consistent Fubini-Tonelli Theorem for Nonmeasurable Functions |url=https://archive.org/details/sim_illinois-journal-of-mathematics_fall-1980_24_3/page/390 |journal=Illinois J. Math. |volume=24 |issue=3 |pages=390–395 |mr=573474 }}</ref>。它亦可以由Freiling's axiom of symmetry的一個變種推導而出<ref>{{cite journal |authorlink=Chris Freiling |first=Chris |last=Freiling |year=1986 |title=Axioms of symmetry: throwing darts at the real number line |journal={{tsl|en|Journal of Symbolic Logic||Journal of Symbolic Logic}} |volume=51 |issue=1 |pages=190–200 |mr=830085 |jstor=2273955 |doi=10.2307/2273955}}</ref>。

==拓扑学==

正規Moore Space猜想（每一個[[正规空间|正規]]的Moore Space皆為[[乌雷松度量化定理|可度量]]），能夠在假設CH或MA + ¬CH的情況下被證否，而能夠在假設一個意味[[大基數]]存在性的公理的情況下被證明。因此，granted large cardinals, 正規Moore Space猜想獨立於ZFC。

==泛函分析==

==模型论==

==参考==
{{reflist|1}}

==外部链接==
* [http://mathoverflow.net/questions/1924/what-are-some-reasonable-sounding-statements-that-are-independent-of-zfc What are some reasonable-sounding statements that are independent of ZFC?] {{Wayback|url=http://mathoverflow.net/questions/1924/what-are-some-reasonable-sounding-statements-that-are-independent-of-zfc |date=20220430112101 }}, mathoverflow.net

{{集合论 |expanded}}

[[Category:集合论]]
[[Category:数学列表]]
[[Category:獨立結果|獨立結果]]