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{{More footnotes|date=2018年7月}}
'''Youla-Kucera参數化'''（Youla–Kučera parametrization）也稱為'''Youla参數化'''（Youla parametrization）或是'''YK参數化'''，是[[控制理论]]中一個{{link-en|參數化|parametrization}}的公式，描述所有針對一受控體P的所有可能穩定回授控制器，表示為單一參數Q的函數。

==細節==
YK参數化是通用的結果，是控制理論的基礎結果，不過在新的研究領域（如最佳控制及強健控制中）也有其應用<ref>V. Kučera. A Method to Teach the Parameterization of All Stabilizing Controllers. 18th IFAC World Congress. Italy, Milan, 2011.[http://www.nt.ntnu.no/users/skoge/prost/proceedings/ifac11-proceedings/data/html/papers/1148.pdf] {{Wayback|url=http://www.nt.ntnu.no/users/skoge/prost/proceedings/ifac11-proceedings/data/html/papers/1148.pdf |date=20160304031418 }}</ref>。

為了方便瞭解其概念，先用簡單的例子舉例，再慢慢擴展，這也是Kučera的作法。

===穩定的SISO系統===
令<math>P(s)</math>為穩定[[單一輸入單一輸出]]（SISO）系統的傳遞函數。再令Ω是''s''的穩定proper函數的集合。則所有可以讓系統<math>P(s)</math>穩定的proper控制器可以定義如下：

<math>\left\{ \frac{Q(s)}{1 - P(s)Q(s)}, Q(s)\in \Omega \right\}</math>,

其中<math>Q(s)</math>是任意''s''的穩定proper函數。也可以說<math>Q(s)</math>參數化了所有可以讓系統<math>P(s)</math>穩定的控制器。

===一般SISO系統===
考慮一系統其傳遞函數為<math>P(s)</math>，且此傳遞函數可以分解為

<math>P(s)=\frac{N(s)}{M(s)}</math>，其中M(s)和N(s)是''s''的穩定proper函數。

求解下式的[[貝祖等式]]

'''<math> \mathbf{N(s)X(s)} + \mathbf{M(s)Y(s)} = \mathbf{1} </math>''',

其中待解的變數（X(s), Y(s)）也要是穩定proper函數。

在找到穩定proper的X和Y後，可以定義穩定化控制器為<math>C(s)=\frac{X(s)}{Y(s)}</math>。在找到一個穩定化控制器後，可以用一個穩定proper的參數Q(s)來定義所有穩定化控制器，其集合為
<math>\left\{ \frac{X(s)+M(s)Q(s)}{Y(s) - N(s)Q(s)}, Q(s) \in \Omega \right\}</math>,

===一般MIMO系統===

在多重輸入多重輸出（MIMO）系統中，考慮傳遞矩陣<math>\mathbf{P(s)}</math>。可以用右互質因式<math>\mathbf{P(s)=N(s)D^{-1}(s)}</math>或左因式<math>\mathbf{P(s)=\tilde{D}^{-1}(s)\tilde{N}(s)}</math>來分解。因式需要是穩定、proper及雙重互質，因此確保系統'''P'''(s)是可控制且可觀察的。可以用貝祖等式寫成下式

<math>
\left[ \begin{matrix}
   \mathbf{X} & \mathbf{Y}  \\
   -\mathbf{\tilde{N}} & {\mathbf{\tilde{D}}}  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   \mathbf{D} & -\mathbf{\tilde{Y}}  \\
   \mathbf{N} & {\mathbf{\tilde{X}}}  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   \mathbf{I} & 0  \\
   0 & \mathbf{I}  \\
\end{matrix} \right]
</math>.

在找到穩定proper的<math>\mathbf{X, Y, \tilde{X}, \tilde{Y}}</math>後，可以用左因式或是右因式定義所有可穩定的控制器'''K(s)'''（假設存在負回授）：

<math>
\begin{align}
  & \mathbf{K(s)}={{\left( \mathbf{X}-\mathbf{\Delta\tilde{N}} \right)}^{-1}}\left( \mathbf{Y}+\mathbf{\Delta\tilde{D}} \right) \\ 
 & =\left( \mathbf{\tilde{Y}}+\mathbf{D\Delta} \right){{\left( \mathbf{\tilde{X}}-\mathbf{N\Delta} \right)}^{-1}}  
\end{align}

</math>

其中<math> \Delta </math>是任意的穩定proper參數。

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令<math>P(s)</math>是系統的傳遞函數，且<math>K_0(s)</math>是一個穩定化的控制器，其右互質分解為：
:<math>\mathbf{P(s)}= \mathbf{N} \mathbf{M}^{-1}</math>
:<math>\mathbf{K_0(s)} = \mathbf{U} \mathbf{V}^{-1}</math>
則所有的穩定控制器可以寫成
:<math>\mathbf{K(s)} = (\mathbf{U}+\mathbf{M} \mathbf{Q}) (\mathbf{V}+\mathbf{N} \mathbf{Q})^{-1}</math> 
其中Q是穩定且proper的函數<ref>{{Cite web |url=http://www.inf.ethz.ch/personal/cellier/Lect/NMC/Lect_nmc_index.html |title=Cellier: Lecture Notes on Numerical Methods for control, Ch. 24 |access-date=2018-07-26 |archive-date=2015-05-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150517070417/http://www.inf.ethz.ch/personal/cellier/Lect/NMC/Lect_nmc_index.html }}</ref>

YK公式在工程上的重要性是若要找到符合特定準則的可穩定控制器，可以調整Q來符合想要的準則。

==參考資料==
{{reflist}}
*D. C. Youla, H. A. Jabri, J. J. Bongiorno: Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers: part II, IEEE Trans. Automat. Contr., AC-21 (1976) pp319–338
*V. Kučera: Stability of discrete linear feedback systems. In: Proceedings of the 6th IFAC. World Congress, Boston, MA, USA, (1975).
*C. A. Desoer, R.-W. Liu, J. Murray, R. Saeks. Feedback system design: the fractional representation approach to analysis and synthesis. IEEE Trans. Automat. Contr., AC-25 (3), (1980) pp399–412
*John Doyle, Bruce Francis, Allen Tannenbaum. Feedback control theory. (1990). [http://www.gest.unipd.it/~oboe/psc/testi/dft.pdf] {{Wayback|url=http://www.gest.unipd.it/~oboe/psc/testi/dft.pdf |date=20120426045940 }}

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[[Category:控制理论]]