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[[理論物理]]與[[數學]]中， '''威斯-朱米諾-維騰模型'''（{{lang|en|Wess-Zumino-Novikov-Witten model}}，{{lang|en|WZW}}），乃一簡單之 [[共形場論]]，其解可以用[[仿射李代數]]表達。其名來自[[朱利斯·外斯]]、[[布鲁诺·朱米诺]]、[[謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫]]與[[爱德华·威滕]]。

== 作用 ==

設''G''為[[緊緻]][[單連通]][[李羣]]，設''g''為其[[李代數]]。設γ為[[黎曼球面]]<math>S^2</math>（[[複平面]]之一點緊緻化）上一''G''-值場

'''Wess-Zumino-Witten 模型'''是γ所定義之[[非線性 sigma 模型]]，其[[作用 (物理)|作用]]為
:<math>S_k(\gamma)= - \,  \frac {k}{8\pi} \int_{S^2} d^2x\, 
\mathcal{K} (\gamma^{-1} \partial^\mu \gamma \,  , \,   
\gamma^{-1} \partial_\mu \gamma) + 2\pi k\, S^{\mathrm WZ}(\gamma) </math>；
其中首項為[[量子場論]]中常見之動量項，[[愛因斯坦記號|重覆指標相加]]，度量為[[歐幾里得度量]]， <math>\mathcal{K}</math> 為''g''上之[[Killing 二次式]]，而<math>\partial_\mu = \partial / \partial x^\mu</math> 為 [[偏導數]]。

''S''<sup>WZ</sup> 項人稱 ''Wess-Zumino 項''，其定義為
:<math>S^{\mathrm WZ}(\gamma) = - \, \frac{1}{48\pi^2} \int_{B^3} d^3y\, 
\epsilon^{ijk} \mathcal{K} \left( 
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^i} \, , \, 
\left[
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^j} \, , \,
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^k}
\right]
\right)</math>
其中 [,] 為[[交換子]]，<math>\epsilon^{ijk}</math> 為[[完全反對稱張量]]，''i''=1,2,3，<math>y^i</math>為積分座標，取值於[[單位球]] <math>B^3</math>。
在此積分中，場γ 被延拓至單位球之內部——此所以可能，是由於任何緊緻單連通李羣之第二[[同倫羣]]<math>\pi_2(G)</math>俱為零（γ已於球面上定義）。

=== 拉回 ===
注意：若 <math>e_a</math> 為李代數''g''之[[基向量]]，則<math>\mathcal{K}(e_a, [e_b, e_c])</math> 為''g'' 之 [[結構常數]]。結構常數是反對稱的，因而定義了一G 上一个三次[[微分形式]]。故上述積分實為球<math>B^3</math>上之三次調和式的[[拉回]]。記此三次式為 ''c''、其拉回為 <math>\gamma^{*}</math>，則我们有 
:<math>S^{\mathrm WZ}(\gamma) = \int_{B^3} \gamma^{*} c</math>
自此我们可用拓撲方法分析 WZ-項。

=== 拓撲障礙 ===
γ 有多種延拓至球<math>B^3K</math>之內部；若要求物理現象不依賴於特定之延拓，則常數''k''需符合以下「量子條件」：
* 取γ 到球內部之任何兩種延拓。是為平三維區域至李羣''G''之兩支影射。在其邊界 <math>S^2</math>黏起此兩個三維球，則成一三維球面<math>S^3</math>；其中每一三維半球面來自一<math>B^3</math>。 γ 之兩種延拓則成為一影射： <math>S^3\rightarrow G</math>。然而，任何緊緻單連通李羣''G''之同倫羣
<math>\pi_3(G)=\mathbb{Z}</math> 。故
:<math>S^{\mathrm WZ}(\gamma) = S^{\mathrm WZ}(\gamma')+n</math>
其中 γ 與 γ' 表示兩種延拓， ''n''為一整數——黏合後影射之[[卷绕数]]。兩種延拓會帶來相同的物理系統，若
:<math>\exp \left(i2\pi k S^{\mathrm WZ}(\gamma) \right)= 
\exp \left( i2\pi k S^{\mathrm WZ}(\gamma')\right)</math>

是故，耦合常數''k''必須為整數。當''G''是半單李羣，或不連通緊緻羣， 則由每一連通部所給之一整數構成此階（level）。

此拓撲障礙亦可以相應之[[仿射李代數]]之表示論體現。 當每一階為一整數，則存在該仿射李代數之[[酉群|酉]][[最高權表示]]，而其最高權為 dominant integral。此等表示是[[可積表示]]<ref>Kac, Victor, Infinite dimensional Lie algebras, ISBN 0-521-46693-8 第十章，</ref>。

我们亦常遇相應於一非緊緻單李羣－例如 SL(2,'''R''')－之 WZW 模型。[[胡安·马尔达西那]]與{{綠鏈|en|Hirosi Ooguri|}}以此描述三維[[反德西特空間]]上之[[弦理論]]。此時 π<sub>3</sub>(SL(2,'''R'''))=0，故不存在拓撲障礙，而其階亦不必為整數。

=== 推廣 ===
上述各 WZW 模型俱定義於黎曼球面上。我们亦可定義一般緊緻[[黎曼曲面]]上之場γ。

== 參見 ==

* [[陳-西蒙斯理論]]
* [[紐結理論]]

== 參攷 ==
* J. Wess, B. Zumino, "Consequences of anomalous Ward identities", ''Physics Letters B'', '''37''' (1971) pp. 95-97.
* E. Witten, "Global aspects of current algebra", ''Nuclear Physics B'' '''223''' (1983) pp. 422-432.
* V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras

== 註 ==
<references/>

[[Category:李羣|W]]
[[Category:量子場論|W]]
[[Category:共形場論|W]]
[[Category:可解模型|W]]