查看“︁WKB近似”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=物理學
|1=zh:半經典;zh-tw:半古典
}}

在[[量子力學]]裏，'''WKB近似'''是一種半經典計算方法，可以用來解析[[薛丁格方程式]]。[[喬治·伽莫夫]]使用這方法，首先正確地解釋了[[阿爾法衰變]]。WKB近似先將量子系統的[[波函數]]，重新打造為一個[[指數函數]]。然後，半經典展開。再假設[[波幅]]或[[相位]]的變化很慢。通過一番運算，就會得到波函數的近似解。

== 簡略歷史 ==
WKB近似以三位物理學家[[格雷戈尔·文策尔]]、[[汉斯·克喇末]]和[[萊昂·布里淵]]姓氏字首命名。於1926年，他們成功地將這方法發展和應用於量子力學。不過早在1923年，數學家[[哈罗德·杰弗里斯]]就已經發展出二階線性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一個二階微分方程式。可是，薛丁格方程式的出現稍微晚了兩年。三位物理學家各自獨立地在做WKB近似的研究時，似乎並不知道這個更早的研究。所以物理界提到這近似方法時，常常會忽略了杰弗里斯所做的貢獻。這方法在[[荷蘭]]稱為'''KWB近似'''，在[[法國]]稱為'''BWK近似'''，只有在[[英國]]稱為'''JWKB近似'''<ref name="Griffiths2004">{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>。

== 數學概念 ==
一般而言，WKB近似專門計算一種特殊[[微分方程式]]的近似解。這種特殊微分方程式的最高階導數項目的係數是一個微小參數<math>\epsilon\,\!</math>。給予一個微分方程式，形式為
:<math> \epsilon \frac{d^ny}{dx^n} + a(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n - 1}} + \cdots + k(x)\frac{dy}{dx} + m(x)y= 0\,\!</math>。

假設解答的形式可以展開為一個[[渐近展开|漸近級數]]：
:<math> y(x) \sim \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]\,\!</math>。

將這[[擬設]]代入微分方程式。然後约去相同指數函數因子。又取<math>\delta \rightarrow 0\,\!</math>的極限。這樣，就可以從<math>S_0(x)\,\!</math>開始，一個一個的解析這漸近級數的每一個項目<math>S_n(x)\,\!</math>。

通常<math>y(x)\,\!</math>的漸近級數會[[發散]]。當<math>n\,\!</math>大於某值後，一般項目<math>\delta ^n S_n(x)\,\!</math>會開始增加。因此WKB近似法造成的最小誤差，約是最後包括項目的數量級。

== 數學例子 ==
設想一個二階齊次[[線性微分方程式]]
:<math> \epsilon^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = Q(x) y \,\!</math>；

其中，<math>Q(x) \neq 0\,\!</math>。

猜想解答的形式為
:<math>y(x) = \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]\,\!</math>。

將猜想代入微分方程式，可以得到
:<math>\epsilon^2\left[\frac{1}{\delta^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'\right)^2 + \frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n''\right] = Q(x)\,\!</math>。

取<math>\delta \rightarrow 0\,\!</math>的極限，最重要的項目是
:<math>\frac{\epsilon^2}{\delta^2}S_0'^2 \sim Q(x)\,\!</math>。

我們可以察覺，<math>\delta\,\!</math>必須與<math>\epsilon\,\!</math>成比例。設定<math>\delta=\epsilon\,\!</math>，則<math>\epsilon\,\!</math>的零次冪項目給出
:<math>\epsilon^0: \qquad S_0'^2 = Q(x)\,\!</math>。

我們立刻認出這是[[程函方程]]。解答為
:<math>S_0(x) = \pm \int_{x_0}^{x}\sqrt{Q(t)}\,dt\,\!</math>。

檢查<math>\epsilon\,\!</math>的一次冪項目給出
:<math>\epsilon^1:\qquad 2S_0'S_1' + S_0'' = 0\,\!</math>。

這是一個一維[[漂移–扩散方程|傳輸方程式]]。解答為
:<math>S_1(x) = - \frac{1}{4}\ln\left(Q(x)\right) + k_1\,\!</math>；

其中，<math>k_1\,\!</math>是任意常數。

我們現在有一對近似解（因為<math>S_0\,\!</math>可以是正值或負值）。一般的一階WKB近似解是這一對近似解的線性組合：
:<math>y(x)\approx c_1Q^{ - \frac{1}{4}}(x)\exp\left[\frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right] + c_2Q^{ - \frac{1}{4}}(x)\exp\left[ - \frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right]\,\!</math>。

檢查<math>\epsilon\,\!</math>的更高冪項目（<math>n>2\,\!</math>）可以給出：
:<math> 2S_0'S_n' + S''_{n - 1} + \sum_{j=1}^{n - 1}S'_jS'_{n - j} = 0\,\!</math>。

== 薛丁格方程式的近似解 ==
解析一個量子系統的薛丁格方程式，WKB近似涉及以下步驟：
# 將[[波函數]]重寫為一個[[指數函數]]，
# 將這指數函數代入[[薛丁格方程式]]，
# 展開指數函數的參數為[[約化普朗克常數]]的[[冪級數]]，
# 匹配約化普朗克常數同次冪的項目，會得到一組方程式，
# 解析這些方程式，就會得到波函數的近似。

一維不含時[[薛丁格方程式]]為
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x)\,\!</math>；

其中，<math>\hbar\,\!</math>是[[約化普朗克常數]]，<math>m\,\!</math>是質量，<math>x\,\!</math>是坐標，<math>V(x)\,\!</math>是[[位勢]]，<math>E\,\!</math>是能量，<math>\psi\,\!</math>是波函數。

稍加編排，重寫為
:<math>\hbar^2\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) =2m \left( V(x) - E \right) \psi(x)\,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

假設波函數的形式為另外一個函數<math>\phi\,\!</math>的指數（函數<math>\phi\,\!</math>與[[作用量]]有很密切的關係）：
:<math>\psi(x) = e^{\phi(x)/\hbar} \,\!</math>。

代入方程式(1)，
:<math>\hbar\phi''(x) +\left[\phi'(x)\right]^2=2m\left( V(x) - E \right)\,\!</math>；<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

其中，<math>\phi'\,\!</math>表示<math>\phi\,\!</math>隨著<math>x\,\!</math>的導數。

<math>\phi'\,\!</math>可以分為實值部分與虛值部分。設定兩個函數<math>A(x)\,\!</math>與<math>B(x)\,\!</math>：
:<math>\phi'(x) = A(x) + i B(x)\,\!</math>。

注意到波函數的波幅是<math>\exp\left[\int^x A(x')dx'/\hbar\right]\,\!</math>，相位是<math>\int^x B(x')dx'/\hbar\,\!</math>。將<math>\phi'\,\!</math>的代表式代入方程式(2)，分別匹配實值部分、虛值部分，可以得到兩個方程式：
:<math>\hbar A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 =2m \left( V(x) - E \right)\,\!</math>，<span style="position:absolute;right:15%">(3)</span>
:<math>\hbar B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0\,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(4)</span>

=== 半經典近似 ===
將<math>A(x)\,\!</math>與<math>B(x)\,\!</math>展開為<math>\hbar\,\!</math>的[[冪級數]]：
:<math>A(x) =\sum_{n=0}^\infty \hbar^n A_n(x)\,\!</math>，
:<math>B(x) =\sum_{n=0}^\infty \hbar^n B_n(x)\,\!</math>。

將兩個冪級數代入方程式(3)與(4)。<math>\hbar\,\!</math>的零次冪項目給出：
:<math>A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)\,\!</math>，
:<math>A_0(x) B_0(x) = 0\,\!</math>。

假若波幅變化地足夠慢於相位（<math>A_0(x) \ll B_0(x)\,\!</math>），那麼，我們可以設定
:<math>A_0(x) = 0\,\!</math>，
:<math>B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\,\!</math>。

只有當<math>E\ge V(x) \,\!</math>的時候，這方程式才成立。經典運動只會允許這種狀況發生。

更精確一點，<math>\hbar\,\!</math>的一次冪項目給出：
:<math>A_0'+2A_0 A_1 - 2B_0 B_1= - 2B_0 B_1=0\,\!</math>，
:<math>B_0'+2A_0 B_1+2B_0 A_1=B_0'+2B_0 A_1=0\,\!</math>。

所以，
:<math>B_1=0\,\!</math>，
:<math>A_1= - \frac{B_0'}{2B_0}=\frac{d}{dx}ln B_0^{ - 1/2}\,\!</math>。

波函數的波幅是
<math>\exp\left[\int^x A(x')dx'/\hbar\right]=\frac{1}{\sqrt{B_0}}\,\!</math>。

定義動量<math>p(x) = \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\,\!</math>，則波函數的近似為
:<math>\psi(x) \approx  \cfrac{C_{\pm}} {\sqrt{p(x)}}  e^{\pm i \int_{x_0}^x p(x') \mathrm{d}x'/\hbar} \,\!</math>；<span style="position:absolute;right:15%">(5)</span>

其中，<math>C_+\,\!</math>和<math>C_{-}\,\!</math>是常數，<math>x_0\,\!</math>是一個任意參考點的坐標。

換到另一方面，假若相位變化地足夠慢於波幅（<math>B_0(x) \ll A_0(x)\,\!</math>），那麼，我們可以設定
:<math>A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }\,\!</math>，
:<math>B_0(x) = 0\,\!</math>。

只有當<math>V(x)\ge E\,\!</math>的時候，這方程式才成立。經典運動不會允許這種狀況發生。只有在量子系統裏，才會發生這種狀況，稱為[[量子穿隧效應]]。類似地計算，可以求得波函數的近似為
:<math>\psi(x) \approx  \frac{C_{\pm}} {\sqrt{p(x)}}  e^{\pm\int_{x_0}^x p(x') \mathrm{d}x'/\hbar}\,\!</math>；<span style="position:absolute;right:15%">(6)</span>

其中，<math>p(x) = \sqrt{ 2m \left(V(x) - E\right) }\,\!</math>。

=== 連接公式 ===
顯而易見地，我們可以從分母觀察出來，在經典轉向點<math>E = V(x)\,\!</math>，這兩個近似方程式(5)和(6)會發散，無法表示出物理事實。我們必須正確地找到波函數在經典轉向點的近似解答。設定<math>x_1< x< x_2\,\!</math>是經典運動允許區域。在這區域內，<math>E>V(x)\,\!</math>，波函數呈振動形式。其它區域<math>x<x_1\,\!</math>和<math>x_2< x\,\!</math>是經典運動不允許區域，波函數呈指數遞減形式。假設在經典轉向點附近，位勢足夠的光滑，可以近似為線性函數。更詳細地說，在點<math>x_2\,\!</math>附近，將  <math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)\,\!</math>展開為一個冪級數：
:<math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1(x - x_2) + U_2(x - x_2)^2 + \cdots\,\!</math>；

其中，<math>U_1,\,U_2,\,\cdots\,\!</math>是常數值係數。

取至一階，方程式(1)變為
:<math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) = U_1(x - x_2) \psi(x)\,\!</math>。

這微分方程式稱為[[艾里方程式]]，其解為著名的[[艾里函數]]：
:<math>\psi(x) = C_{2A} \textrm{Ai}\left( \sqrt[3]{U_1}(x - x_2) \right) + C_{2B} \textrm{Bi}\left( \sqrt[3]{U_1}(x - x_2) \right)\,\!</math>。

匹配艾里函數和在<math>x< x_2\,\!</math>的波函數，在<math>x_2< x\,\!</math>的波函數，經過一番繁雜的計算，可以得到在<math>x_2\,\!</math>附近的'''連接公式'''（{{lang|en|connection formula}}）<ref name="Griffiths2004" />：
:<math>\psi(x) =
\begin{cases} 
  \cfrac{2C_2}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\cfrac{1}{\hbar}\int_x^{x_2} p(x')dx'+\cfrac{\pi}{4}\right) & \mbox{if } x<x_2 \\
  \cfrac{C_2}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( - \int_{x_2}^x |p(x')|dx'/{\hbar}\right) & \mbox{if } x_2<x 
\end{cases}\,\!</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

類似地，也可以得到在<math>x_1\,\!</math>附近的連接公式：
:<math>\psi(x) =
\begin{cases} 
  \cfrac{C_1}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( - \int_x^{x_1} |p(x')|dx'/{\hbar}\right) & \mbox{if } x<x_1 \\
  \cfrac{2C_1}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\cfrac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x} p(x')dx'+\cfrac{\pi}{4}\right) & \mbox{if } x_1<x 
\end{cases}\,\!</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

=== 量子化規則 ===
在經典運動允許區域<math>x_1< x< x_2\,\!</math>內的兩個連接公式也必須匹配。設定角變量
:<math>\theta_1= - \frac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x} p(x')dx' - \frac{\pi}{4}\,\!</math>，
:<math>\theta_2=~\frac{1}{\hbar}\int_x^{x_2} p(x')dx' + \frac{\pi}{4}\,\!</math>，
:<math>\alpha=\int_{x_1}^{x_2} p(x)dx/\hbar\,\!</math>。

那麼，
:<math>\alpha=\theta_2 - \theta_1 - \pi/2\,\!</math>，
:<math> - C_1 \sin \theta_1=C_2 \sin \theta_2=C_2\sin(\theta_1+\alpha+\pi/2)\,\!</math>。

立刻，我們可以認定<math>|C_1|=|C_2|\,\!</math>。匹配相位，假若<math>C_1=C_2\,\!</math>，那麼，
:<math>\alpha+\pi/2=(2m - 1)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

所以，
:<math>\alpha=(2m - 3/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

假若<math>C_1= - C_2\,\!</math>，那麼，
:<math>\alpha+\pi/2=2m\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

所以，
:<math>\alpha=(2m - 1/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

總結，量子系統必須滿足量子化守則：
:<math>\int_{x_1}^{x_2} p(x)dx =(n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

=== 範例 ===
考慮一個[[量子諧振子]]系統，一個質量為<math>m\,\!</math>的粒子，運動於諧振位勢<math>V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\,\!</math>；其中，<math>\omega\,\!</math>是角頻率。求算其[[本徵值|本徵能級]]<math>E_n\,\!</math>？

能量為<math>E\,\!</math>的粒子，其運動的古典轉向點<math>x_t\,\!</math>為
:<math>E=\frac{1}{2}m\omega^2 x_t^2\,\!</math>。

所以，
:<math>x_t=\pm \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2 }}\,\!</math>。

粒子的動量為
:<math>p(x)=\sqrt{2m\left(E - \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\right)}\,\!</math>。

將這些變量代入量子化守則：
:<math>\int_{ - 2E/m\omega^2}^{2E/m\omega^2}\,\sqrt{2m\left(E - \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\right)}\,dx=(n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

經過一番運算，可以得到本徵能量
:<math>E_n=(n - 1/2)\omega\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

藉由以上之計算，發現近似解與精確解完全一樣。

== 參閱 ==
* [[微擾理論 (量子力學)]]
* [[量子穿隧效應]]
* [[舊量子論]]

== 參考文獻 ==
=== 現代文獻 ===
{{reflist}}
* {{cite book | author=Liboff, Richard L. | title=Introductory Quantum Mechanics (4th ed.) | publisher=Addison-Wesley |year=2003 |id=ISBN 0-8053-8714-5}}
* {{cite book | author=Sakurai, J. J. | title=Modern Quantum Mechanics | publisher=Addison-Wesley |year=1993 |id=ISBN 0-201-53929-2}}
* {{cite book | author=Bender, Carl; Orszag, Steven | title=Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers | publisher=McGraw-Hill | year=1978 | id=ISBN 0-07-004452-X}}

=== 歷史文獻 ===
* {{cite journal | author=Jeffreys, Harold | year=1924 | title=On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order | journal=Proceedings of the London Mathematical Society | volume=23 | pages=428–436 | url=http://plms.oxfordjournals.org/cgi/content/citation/s2-23/1/428 | access-date=2008-11-19 | archive-date=2013-05-03 | archive-url=https://archive.today/20130503090524/http://plms.oxfordjournals.org/cgi/content/citation/s2-23/1/428 | dead-url=no }}
* {{cite journal | author=Brillouin, Léon | year=1926 | title=La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives | journal=Comptes Rendus de l'Academie des Sciences | volume=183 | pages=24–26 }}
* {{cite journal | author=Kramers, Hendrik A. | year=1926 | title=Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung | journal=Zeitschrift der Physik | volume=39 | pages=828–840 | url=http://www.springerlink.com/content/p51h0581683641u5/ }}{{Dead link|date=2020年2月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{cite journal | author=Wentzel, Gregor | year=1926 | title=Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik | journal=Zeitschrift der Physik | volume=38 | pages=518–529 | url=http://www.springerlink.com/content/u23782455k843280/ }}{{Dead link|date=2020年2月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}

[[Category:量子力學|W]]
[[Category:理論物理|W]]
[[Category:漸近分析|W]]