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在[[交換代數]]中，'''Tor 函子'''是[[張量積]]的[[導函子]]。此函子起初是為了表述[[代數拓撲]]中的 Künneth 定理與[[普遍係數定理]]而定義。

== 定義 ==
設 <math>R</math> 為[[环 (代数)|環]]。令 <math>R-\mathbf{Mod}</math> 為左 <math>R</math>-模範疇、 <math>\mathbf{Mod}-R</math> 為右 <math>R</math>-模範疇（若 <math>R</math> 為[[交換環]]，則兩者等價）。固定一對象 <math>B \in R-\mathbf{Mod}</math>，考慮函子
: <math>T_B(-) := - \otimes_R B</math>

這是從 <math>\mathbf{Mod}-R</math> 至[[阿貝爾群]]範疇 <math>\mathbf{Ab}</math> 的右[[正合函子]]（若 <math>R</math> 為交換環，則它是映至 <math>R-\mathbf{Mod}</math> 的右正合函子），因此能考慮其左[[導函子]] <math>L_\bullet T_B</math>，記為 <math>\mathrm{Tor}_\bullet^R(-,B)</math>。

換言之，對任一左 <math>R</math>-模 <math>A</math> 取[[射影分解]]
: <math>\cdots\rightarrow P_3 \rightarrow P_2 \rightarrow P_1 \rightarrow A\rightarrow 0</math> 

去掉尾項 <math>A</math>，並對 <math>B</math> 取張量積，得到鏈複形
: <math>\cdots \rightarrow P_3\otimes B \rightarrow P_2\otimes B \rightarrow P_1\otimes B \rightarrow 0</math> 

並取其同調群，則得到 <math>\mathrm{Tor}_\bullet^R(-,B)</math>

此外，Tor 函子也能以 <math>A \otimes_R -</math> 的左導函子定義，兩種定義給出自然同構的函子。

== 性質 ==
* Tor 函子與直和交換：
: <math>\mathrm{Tor}_n^R(\bigoplus_i A_i, \bigoplus_j B_j) \simeq \bigoplus_i \bigoplus_j \mathrm{Tor}_n^R(A_i,B_j)</math>
* 對任何 <math>n \geq 1</math>，<math>\mathrm{Tor}_n^R</math> 是從 <math>(\mathbf{Mod}-R) \times (R-\mathbf{Mod})</math> 到 <math>\mathbf{Ab}</math> 的[[加法函子]]。若 <math>R</math> 是交換環，則它是從 <math>(R-\mathbf{Mod}) \times (R-\mathbf{Mod})</math> 到 <math>R-\mathbf{Mod}</math> 的加法函子。
* 依據導函子性質，每個[[短正合序列]] <math>0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0</math> 導出[[長正合序列]]：
: <math>\cdots\rightarrow\mathrm{Tor}_{n+1}^R (M,B) \rightarrow \mathrm{Tor}_n^R (K,B) \rightarrow \mathrm{Tor}_n^R (L,B) \rightarrow\mathrm{Tor}_n^R (M,B)\rightarrow \mathrm{Tor}_{n-1}^R(K,B) \rightarrow \cdots</math>
: 對第二個變數亦同。
* 若 <math>R</math> 為交換環，<math>r \in R</math> 非零因子，則
: <math>\mathrm{Tor}_1^R(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}</math>
: 這是 Tor 函子的詞源。
* 由於[[阿貝爾群]]皆有長度不超過二的[[自由分解]]（因為自由阿貝爾群的子群皆為自由的），此時對所有 <math>n \geq 2</math>，有 <math>\mathrm{Tor}_n^\Z(-,-) = 0</math>。

== 譜序列 ==
設 <math>A, B</math> 為交換環，<math>M</math> 為 <math>B</math>-模，並固定一個環同態 <math>A \to B</math>。我們有雙函子的自然同構：
: <math>(- \otimes_A B) \otimes_B M = - \otimes_A M</math>
由此導出[[格羅滕迪克譜序列]]：對任何 <math>A</math>-模 <math>N</math>，有[[譜序列]]
: <math>E^2_{pq} = \mathrm{Tor}_p^B(\mathrm{Tor}_q^A (N,B), M) \Rightarrow \mathrm{Tor}_{p+q}^A(N, M) </math>

== 與平坦模的關係 ==
{{further|平坦模}}
一個右 <math>R</math>-模是[[平坦模]]的充要條件是 <math>\mathrm{Tor}_1^R(M,-)=0</math>。此時可推出 <math>\forall n \geq 1, \; \mathrm{Tor}_n^R(M,-)=0</math>。左 <math>R</math>-模的情況準此可知。事實上，計算 Tor 函子時可以用[[平坦分解]]代替射影分解；凡射影分解必為平坦分解，反之則不然；平坦分解在技術上較富彈性。

== 文獻 ==
* Charles A. Weibel, ''An introduction to homological algebra'', Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1

[[Category:同調代數]]
[[Category:交換代數]]
[[Category:函子]]