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[[File:Stokes boundary layer.gif|frame|right|黏滯流體中受固體平面週期振盪的斯托克斯問題(底部黑色邊界)。速度(藍線)和粒子位移(紅點)為到平面距離的函數。]]
在流體動力學中，'''斯托克斯問題'''('''斯托克斯第二問題''')，或常稱為'''斯托克斯邊界層'''和'''振盪邊界層'''，是個描述受固體平面振盪所影響的流體行為，以[[喬治·斯托克斯]]爵士來命名。這是其中一個有精確[[納維-斯托克斯方程式]]解的簡單非穩定問題。<ref>{{cite journal | journal=Annual Review of Fluid Mechanics | volume=23 | pages=159–177 | year=1991 | doi=10.1146/annurev.fl.23.010191.001111 | title=Exact solutions of the steady-state Navier-Stokes equations | first=C. Y. | last=Wang |bibcode = 1991AnRFM..23..159W }}</ref><ref>Landau & Lifshitz (1987), pp. 83–85.</ref> 在[[湍流]]中，這問題同樣被稱為斯托克斯邊界層，
但須仰賴{{link-en|實驗|flow measurement}}、{{link-en|數值解|sinusoidal}}與{{link-en|近似法|approximate methods}}才能得到有用的流體資訊。

==流體描述<ref>Batchelor, George Keith. An introduction to fluid dynamics. Cambridge university press, 2000.</ref><ref>Lagerstrom, Paco Axel. Laminar flow theory. Princeton University Press, 1996.</ref>==

考慮一個無限大平面，在<math>x</math>方向以速度<math>U \cos \omega t</math>作週期振盪,平面位置為 <math>y=0</math>，上方充滿流體，  <math>\omega</math>是週期振盪的角頻率。非壓縮性的[[納維-斯托克斯方程式]]可被簡化為

:<math>\frac{\partial u}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}</math>

其中<math>\nu</math>為流體的{{link-en|運動黏度|kinematic viscosity}}。壓力梯度未被考慮進此問題中。初始壁上的{{link-en|不滑移條件|no-slip condition}}為

:<math>u(0,t) = U \cos\omega t, \quad u(\infty,t) = 0,</math>

第二個邊界條件是因為<math>y=0</math>的振盪不會影響到無限遠處。流體只受平面振盪影響，不考慮壓力梯度。
===問題解<ref>Acheson, David J. Elementary fluid dynamics. Oxford University Press, 1990.</ref><ref>Landau, Lev Davidovich, and Evgenii Mikhailovich Lifshitz. "Fluid mechanics." (1987).</ref>===

因為週期性，不須考慮初始條件。因為方程式與邊界條件皆是線性的，速度函數可以寫成某個虛數函數的實數部分

:<math>u = U\Re \left[e^{i\omega t} f(y)\right]</math>

因為<math>\cos \omega t = \Re e^{i\omega t}</math>

將上式帶入偏微分方程式中，可簡化為

:<math>f'' - \frac{i \omega}{\nu}f = 0</math>

將邊界條件帶入

:<math>f(0)= 1, \quad f(\infty) =0</math>

即可得到上式方程式的解為

:<math>f(y) =  \exp\left[- \frac{1+i}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{\omega}{\nu}}y\right] </math>
:<math>u(y,t) = U e^{- \sqrt{\frac{\omega}{2\nu}}y}\cos\left(\omega t -\sqrt{\frac{\omega}{2\nu}}y \right) </math>

受振盪平面所影響的擾動以波的形式傳播流體，但會受指數項衰減。波的滲透深度<math>\delta=\sqrt{2\nu/\omega}</math>隨振盪頻率下降而上升，隨著運動黏度下降而下降。

單位面積因流體而施加在平面上的力為

:<math>F = \mu \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{y=0} = \sqrt{\rho \omega\mu}U\cos \left(\omega t - \frac{\pi}{4}\right) </math>

在力與平面的振盪之間有產生一相位差。
===邊界附近的窩度振盪===

振盪斯托克斯流解的一大重點是{{link-en|窩度|vorticity }}振盪受限於狹小邊界層中並在遠離平面時以[[指數衰減]]。<ref name=Phil46>Phillips (1977), p. 46.</ref>這個發現同樣適用於渦流邊界層。在斯托克斯邊界層外(充滿大部分流體的地方)，渦流振盪可以被忽略。作為好的近似, 流速振盪在邊界層外是{{link-en|無旋|irrotational }}的，且[[位流]]理論可用來解釋振盪運動的部分。這大大簡化了問題，也很常被應用在[[聲波]]和[[水波]]的無旋部分。

===受制於上平面的流體===
若流體受制於位置<math>y=h</math>，固定不動的上平面，那麼流速可以被寫為

:<math>u(y,t) = \frac{U}{2(\cosh 2\lambda h -\cos 2\lambda h)}[e^{-\lambda(y-2h)}\cos(\omega t-\lambda y) + e^{\lambda(y-2h)}\cos(\omega t+\lambda y) - e^{-\lambda y} \cos(\omega t-\lambda y+2\lambda h) - e^{\lambda y}\cos(\omega t+\lambda y-2\lambda h)]</math>

其中<math>\lambda=\sqrt{\omega/(2\nu)}</math>。

===流體受制於自由平面===
假設流體區域為<math>0<y<h</math> ， <math>y=h</math>處代表一個自由面。其解在1968 被[[易家訓]]院士<ref>Yih, C. S. (1968). Instability of unsteady flows or configurations Part 1. Instability of a horizontal liquid layer on an oscillating plane. Journal of Fluid Mechanics, 31(4), 737-751.</ref> 解出，其為

:<math>u(y,t) = \frac{U \cos h/\delta\, \mathrm{cosh}\, h/\delta}{2(\cos^2h/\delta + \mathrm{sinh}^2h/\delta)} \Re\left\{W + W^* - i \mathrm{tanh}\, h/\delta\, \tan h/\delta \,(W-W^*)\right\},\qquad W = \mathrm{cosh}[(1+i)(h-y)/\delta] e^{i\omega t}</math>
其中 <math>\delta = \sqrt{2\nu/\omega}.</math>

===平面附近受週期壓力梯度振盪的流體行為===
[[File:Stokes boundary layer oscillating flow.gif|frame|right|受[[正弦曲線]]遠場速度振盪影響的斯托克斯邊界層。藍縣是水平速度，紅點則是相對應的水平粒子偏移]]
對於振盪{{link-en|遠場|far field}}流的情況，考慮平面靜止，
其可以透過先前的解藉由{{link-en|線性疊加原理|linear superposition}}組合起來。考慮遠離平面處波速以<math>u(\infty,t)=U_\infty \cos \omega t</math>振盪，在平面處 <math>u(0,t)=0</math>。不像先前穩流情況，這邊無限遠處的壓力梯度會是一個時間的週期函數，其解為

:<math>
  u(y,t) = U_\infty \left[\, \cos  \omega t  - \text{e}^{-\sqrt{\frac{\omega}{2\nu}}y}\, \cos\left( \omega t - \sqrt{\frac{\omega}{2\nu}}y\right) \right],
</math>

在 ''z&nbsp;=&nbsp;0'' 的地方值為0,
此與平面靜止的{{link-en|不滑移條件|No-slip condition}}有關。這個解很常在牆壁附近的[[聲波]]問題碰到，或是水床附近的[[水波]]問題。靜止平面附近的窩度振盪值與振盪平面的值相同，但差一負號。
==圓柱對稱下的斯托克斯問題==

===扭轉振盪===

考慮無限長、半徑為 <math>a</math>的圓柱體以角速度 <math>\Omega\cos\omega t</math>作扭轉振盪，<math>\omega</math>是其振盪角頻率。那麼暫態後的速度會趨向於<ref>[[Philip Drazin|Drazin, Philip G.]], and [[Norman Riley (professor)|Norman Riley]]. The Navier–Stokes equations: a classification of flows and exact solutions. No. 334. Cambridge University Press, 2006.</ref>

:<math>v_\theta = a\Omega\ \real\left[\frac{K_1(r\sqrt{i\omega/\nu})}{K_1(a\sqrt{i\omega/\nu})}e^{i\omega t}\right]</math>
其中 <math>K_1</math>第二種形式的修正 Bessel Function。這個解可以被表示為下式的實數部分:
<ref>{{Cite journal|last1=Rivero|first1=M.|last2=Garzón|first2=F.|last3=Núñez|first3=J.|last4=Figueroa|first4=A.|title=Study of the flow induced by circular cylinder performing torsional oscillation|journal=European Journal of Mechanics - B/Fluids|year=2019 |language=en|volume=78|pages=245–251|doi=10.1016/j.euromechflu.2019.08.002|s2cid=201253195 }}</ref>  

:<math>
\begin{align} 
v_{\theta}  \left( r,t \right)  &= \Psi  \left\lbrace \left[ \textrm{kei}_1 \left( \sqrt{R_{\omega}}  \right) \textrm{kei}_1 \left( \sqrt{R_{\omega}} r \right) + \textrm{ker}_1 \left(  \sqrt{R_{\omega}}  \right) \textrm{ker}_1 \left(  \sqrt{R_{\omega}} r \right) \right] \cos \left( t \right) \right. \\ 
&+ \left. \left[ \textrm{kei}_1 \left( \sqrt{R_{\omega}} \right) \textrm{ker}_1 \left( \sqrt{R_{\omega}} r \right) - \textrm{ker}_1 \left( \sqrt{R_{\omega}} \right) \textrm{kei}_1 \left( \sqrt{R_{\omega}} r \right) \right] \sin \left( t \right) \right\rbrace \\ 
\end{align}
</math>
其中
:<math>
\Psi =  \left[ \textrm{kei}_1^2 \left( \sqrt{R_{\omega}}  \right) + \textrm{ker}_1^2 \left( \sqrt{R_{\omega}}  \right) \right]^{-1},
</math>
<math>\mathrm{kei}</math>和 <math>\mathrm{ker}</math>是[[開爾文函數]]，<math>
R_\omega
</math>是無單位的振盪雷諾數，定義為<math>
R_{\omega} = \omega a^2 / \nu
</math>，其中<math>
\nu
</math>是運動黏度。

===軸向振盪===

若圓柱體在軸向以<math>U\cos\omega t</math>振盪,其速度場為

:<math>u = U\ \real\left[\frac{K_0(r\sqrt{i\omega/\nu})}{K_0(a\sqrt{i\omega/\nu})}e^{i\omega t}\right]</math>

其中<math>K_0</math>為修正Bessel Function的第二種形式。

==斯托克斯-庫埃特流<ref>Landau, L. D., & Sykes, J. B. (1987). Fluid Mechanics: Vol 6. pp. 88</ref>==

對於[[泰勒-庫埃特流]],除了其中一個平面的平移運動,
其平面的週期運動是可以被運算的。若我們有個在 <math>y=0</math> 的靜止平面與在 <math>y=h</math>的上表面，受<math>U\cos\omega t</math>的速度振盪驅動, 其速度場可被寫為

:<math>u = U\ \real \left\{\frac{\sin k y}{\sin kh}\right\}, \quad \text{where}\quad k = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{\omega}{\nu}}.</math>

單位面積施加在移動平面上的摩擦力為 <math>-\mu U \real\{ k\cot kh\}</math>，施加在靜止的則是 <math>\mu U \real\{ k\csc kh\}</math>。

==其他相關==

*[[瑞利問題]]

==參考資料==
<references />

[[Category:Fluid dynamics]]