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'''第四次數學危機'''是由數學及物理學家[[史蒂芬·霍金]]於[[2010年]]首次提出，對於[[代數數學]]中的[[有理數集系統]]的一項質疑。史蒂芬·霍金以[[集合論]]及[[二阶逻辑]]推導出1+1的解不是[[唯一量化|唯一]]而且不能被證明。換句話說，有理數集系統是一個[[混沌系統]]，不存在[[精確解]]。

==簡單數學導論==
設性質集合<math>Q(x)</math>表示一有理數集系統「x∉x」，現假設由性質Q確定了一個類A——也就是說「A={x|x ∉ x}」。那麼現在的問題是：A∈A是否成立？

首先，若A∈A，則A是A的元素，那麼A具有性質Q，由性質Q知A∉A；其次，若A∉A，也就是說A具有性質Q，而A是由所有具有性質Q的類組成的，所以A∈A。而然，由於A∈A是從Q：A∉A導出，整套邏輯將會是一[[重言式]]，故有理數集系統不存在精確解。
（參見[[理髮師悖論]]）<A是一个集合，所以A∉A，A是A的子集，无此导论>

==對數學之影響==
史蒂芬·霍金提出第四次數學危機時，不僅震驚了整個數學界，科學界與[[哲學]]界均為之驚訝。第四次數學危機徹底動搖了數學的根本-[[實數]]及[[複數]]的定義，有不少數學家感到難以接受。而[[哲學]]家們目前正努力思辨如何解決人類第四次數學危機。

==引申含義==
由於史蒂芬·霍金提出的質疑包含了有理數集系統的不確定性，因此對[[量子物理學]]作出了深遠的影響。代數系統的不確定性增加了量子系統[[慣性參考系]]中[[波函數]]的不確定性，使其高於[[海森堡測不準原理]]中估計的：

<math>\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}\,\!</math>&nbsp;

其中 <math>\hbar\,\!</math> 是[[約化普朗克常數]]

波函數的不確定性有助解釋不少物理現象，例如：

* [[質子衰變]]：不確定性會使質子衰變的[[半衰期]]少於預期的10^30年。
* [[CP破壞|CP強對稱破壞]]：不確定性在[[T對稱]]造成了微弱的破壞，使[[介子]]衰變中[[CPT對稱]]保持守恆。
* [[物質]]-[[反物質]]問題：不確定性可能是在[[宇宙大爆炸]]初期[[重力破壞]]時造成物質遠多於反物質的主因。

==波函數重疊==
代數系統的不確定性増加了波函數之間的重疊，增加了量子系統中的[[混沌系數]]，根據[[包立不相容原理]]，波函數重疊會增加系統能量的不確定性。

海森堡測不準原理可以寫成

<math>\frac{\partial \Delta E}{\partial \Delta t} \ge \frac{\partial \hbar}{2\partial \Delta t}</math>

其中&nbsp;<math>\Delta E</math>&nbsp;為能量的不確定性

可見能量的不確定性會隨著時間增加。當這不確定性超越臨界值（[[普朗克能量]]）時，系統能量將會超越[[錢德拉塞卡極限]]，所有物質的波函數會於一瞬間塌縮成一[[微黑洞]]。史蒂芬·霍金估計這現象最快可能於2012年12月發生，造成[[2012年现象|世界末日]]。

==相關條目==
* [[數學危機]]
* [[集合論]]
* [[海森堡測不準原理]]
* [[2012年人類滅亡說]]