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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''Tanh 函数展开法'''是目前求解非线性偏微分方程行波解的最强劲的和行之有效的方法。1992年数学家 Malfliet 首先应用 tanh 展开法<ref>W. Malfliet, Solitary Wave Solution of Nonlinear wave equation, Am J.of Physics  60(7) 1992,650-654</ref>
运用这个方法要进行的大量繁杂的运算，必须借助[[Maple]]、[[Mathematica]]、[[Matlab]]等计算机代数系统。

设一个非线性偏微分方程可以用下列表述：

<math>\psi(u,u_{t},u_{x},u_{tt},u_{xx},u_{tx})=0</math>

作变数代换：

<math>u(x,t)</math>→ <math>U(\xi)</math>

<math>\xi=k*(x-c*t)</math>

得到常微分方程

<math>\psi(U(\psi),-kc*\frac{d U}{d \psi},k*\frac{d U}{d \psi},</math><math>
k^2*c^2*\frac{d^2 U}{d \psi^2}</math><math>,k^2*\frac{d^2 U}{d \psi^2},-k^3*c^3*\frac{d^3 U}{d \psi^3},k^3*\frac{d^3 U}{d \psi^3})=0</math>

作Malfliet  的 tanh 函数代换，引入新函数：

<math>   Y=tanh(\xi) </math>

由此：

<math>\frac{d Y}{d \xi}=1-tanh^2(\xi)=1-Y^2</math>

<math>\frac{d F(Y)}{d \xi}=\frac{d F(Y)}{d Y}*\frac{d Y}{d \xi}=\frac{d F(Y)}{d Y}*(1-Y^2)</math>

显然

<math>\frac{d}{d \xi}=L=(1-Y^2)*\frac{d}{d Y}</math>

<math>\frac{d^2}{d \xi^2}=L^2=-2*(1-Y^2)*Y*\frac{d}{dY}+(1-Y^2)^2*\frac{d^2}{dY^2}</math>

依此类推。
设    F(Y)=Σ(a_{i}*Y^i)

代入 常微分方程 
<math>\psi(U(\psi),-kc*\frac{d U}{d \psi},k*\frac{d U}{d \psi},</math><math>
k^2*c^2*\frac{d^2 U}{d \psi^2}</math><math>,k^2*\frac{d^2 U}{d \psi^2},-k^3*c^3*\frac{d^3 U}{d \psi^3},k^3*\frac{d^3 U}{d \psi^3})=0</math>

得到Y的多项式。用机械代数法或[[吴文俊消元法]]解多项式，反代入原式，即得偏微分方程的行波解。

==实例==
用tanh函数展开法求[[KdV方程]]的行波解<ref>Graham W Griffiths, William E.Schiesser, Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations    p393-396  Academic Press 2012</ref>。

:<math>\partial_t\phi+6\phi\partial_x\phi+\partial^3_x\phi=0</math>

作行波代换

<math>tr1 := {t = tau, u = U(\xi), x = \xi/k+c*tau}</math> 得常微分方程：


<math>-ck\frac{d U(\xi)}{d \xi}+6kU(\xi)\frac{d U(\xi)}{d \xi}+k^3\frac{d^3U(\xi)}{d \xi^3} = 0</math>

对ξ积分，得：

<math>-ckU(\xi)+3kU(\xi)^2+k^3\frac{d (U(\xi)}{d^2 \xi^2} = 0</math>
令 <math>U(\xi)=F(Y)</math>得：

<math>-ckF(Y)+3kF(Y)^2+k^3(1-Y^2)(-2Y\frac{d(F(Y)}{dY}+(1-Y^2)\frac{d^2(F(Y)}{d^2Y}) = 0</math>

令  <math>U(\xi)=F(Y)= a[0]+a[1]Y+a[2]Y^2+a[3]Y^3+a[4]Y^4+a[5]Y^5+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+a[M]Y^M+</math>……
得：
<math display="block">-ck(a[0]+a[1]Y+a[2]Y^2+a[3]Y^3+a[4]Y^4+a[5]Y^5+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+a[M]Y^M)+3k(a[0]+a[1]Y+a[2]Y^2+a[3]Y^3+a[4]Y^4+a[5]Y^5+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+a[M]Y^M)^2+k^3(1-Y^2)(-2Y(a[1]+2a[2]Y+3a[3]Y^2+4a[4]Y^3+5a[5]Y^4+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+Ma[M]Y^{M-1})+(1-Y^2)(2a[2]+6a[3]Y+12a[4]Y^2+20a[5]Y^3+30a[6]Y^4))</math>

由此得 M=2;而且：

<math>(3ka[2]^2+6k^3a[2])Y^4+(2k^3a[1]+6ka[1]a[2])Y^3+</math><math>(-cka[2]+3ka[1]^2+6ka[0]a[2]-8k^3a[2])Y^2+</math><math>(-cka[1]+6ka[0]a[1]-2k^3a[1])Y-cka[0]+3ka[0]^2+2k^3a[2]=0</math>

令系数为0，得下列关于 a[0],a[1],a[2],c,k 的五元多项式方程组：

<math> -cka[0]+3ka[0]^2+2k^3a[2]=0   </math>

<math> -cka[1]+6ka[0]a[1]-2k^3a[1] =0  </math>

<math>>-cka[2]+3ka[1]^2+6ka[0]a[2]-8k^3a[2]=0    </math>

<math> 2k^3a[1]+6ka[1]a[2]=0   </math>

<math>  3ka[2]^2+6k^3a[2]=0  </math>

利用[[Maple]],[[Mathematica]],[[Matlab]]等计算机代数系统，解多项式方程组，得两组非平凡解：

a[0]=2k^2,a[1]=0,a[2]=-2k^2,c=4k^2;

a[0]=(2/3)k^2,a[1]=0,a[2]=-2k^2,c=-4k^2;

于是KdV 方程的行波解为：

<math>u(x,t)=2k^2(1-tanh^2(k(x-4k^2t))=2k^2sech^2(k(x-4k^2t))</math>

<math>u(x,t)=\frac{2}{3}k^2(1-3tanh^2(k(+4k^2t)))</math>

==推广==
Malfliet 的tanh 函数展开法被后人推广到 三角函数、雅可比橢圓函數、魏爾斯特拉斯橢圓函數。

JacobiCN, JacobiDN, JacobiNC, JacobiND, JacobiNS, JacobiSN, WeierstrassP, arcsinh, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, exp,  ln, sec, sech, sin, sinh, tan, tanh 等。

==软件包==
[[Maple]]商业计算机代数系统内包括一个求解偏微分方程的软件包，可用于多种非线性性偏微分方程，求得显式解析解。这个软件包称为为'''TWSolutions''',功能丰富，可求多数非线性偏微分方程的行波解，但仍非万能，对有些非线性偏微分方程无解或只有平凡解<ref name=G>Graham Griffiths, p436-437 ''Maple Built-in Procedure TWSolutions''</ref>

;基本用法

tws:={TWSolutions(pdes,functions = [arcsinh, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, exp, identity, ln, sec, sech, sin, sinh, tan, tanh, JacobiCN, JacobiDN, JacobiNC, JacobiND, JacobiNS, JacobiSN])};

其中 pdes 代表 非线性偏微分方程，或非线性偏微分方程组；若function= 列出所有可用的函数集合，常可一下子给出十几个到几十个解如果不写"function="，则只作tanh展开<ref name=G>Graham Griffiths, p436-437 ''Maple Built-in Procedure TWSolutions''</ref>。用包括所有可用函数的Tanh 函数展开法在[[Intel Core i7]][[笔记本电脑]]计算，一道非线性偏微分方程往往需时几十分以至十几小时。

中国数学家李志斌写了一个名为RATH 的Maple学术软件包，用双曲函数展开法和吴文俊消元解非线性偏微分方程 <ref>李志斌 《非线性数学物理方程的行波解》第119-130</ref>软件包RATH可以下载<ref>{{Cite web |url=http://cpc.cs.qub.ac.uk/summaries/ADQK |title=RATH 下载 |accessdate=2014-03-20 |archive-date=2014-03-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140320065833/http://cpc.cs.qub.ac.uk/summaries/ADQK |dead-url=no }}</ref>。

==参考文献==
<references/>
{{非线性偏微分方程理论与解法}}
[[Category:非线性偏微分方程]]