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在[[统计学]]中，对一个样本统计量进行'''t-标准化'''（studentization，或直译为“学生化”）一般是指将其中心化之后，除以自身的[[标准差]]的变换方式。

广义的t-标准化，是指用其他[[矩_(數學)|样本矩]]来除该统计量。

t-标准化与[[标准化 (统计学)|标准化]]'''（standarization）'''最重要的区别是，标准化用真实的总体参数作除数，而t-标准化用可以观测到的样本统计量作除数。一般而言，标准化需要假设较多的已知信息。

==例子==

* 在对[[位置-尺度参数族]]的分布之总体均值进行估计的时候，经常用尺度参数的估计量来标准化位置参数的估计量。

例如，在估计正态分布 <math>N(\mu,\sigma^2)</math> 的位置参数 <math>\mu</math> 时，常用尺度参数 <math>\sigma</math> 的估计量来t-标准化位置参数的估计量，即：

:<math>T = \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}}</math>

其中 <math>S</math> 是样本方差，注意应该用 <math>S/\sqrt{n}</math> 整体（又称“[[标准误差]]”）而不是 <math>S</math> 来估计 <math>\bar{X}</math> 的标准差。在这个例子里，如果对 <math>\mathbb{E}[(\bar{X})^3]</math> 进行估计，并估计量的立方根代替 <math>T</math> 之表达式中的 <math>S/\sqrt{n}</math> ，那么就做成一个广义的t-标准化。如果用真实的 <math>\sigma</math> 代替 <math>S</math>，那么就做成一个[[标准化 (统计学)|标准化]]。

* 对一般的参数估计，也可以进行t-标准化，例如总体分布具有参数 <math>\theta</math> ，这里 <math>\theta</math> 既可以是一个参数模型的参数，例如 Exp<math>(\lambda)</math> 中的 <math>\lambda</math> ，也可以是一个非参数模型的泛函，例如一个所有矩存在的非参数模型的总体平均、总体方差等，可以考虑如下的t-标准化：

:<math>T = \frac{\hat \theta - \theta}{\sqrt{\widehat{\mathrm Var}(\hat \theta)}}</math>

分母的平方是对 <math>{\mathrm Var}(\hat \theta) </math> 的良好估计，这个估计一般不容易得到，通行的做法是用一个经过仔细设计的重抽样方法做这个方差估计，例如Bootstrap、Jackknife等。

==意义==

t-标准化具有以下重要意义：

* 标准化所得到的估计量，其分布不再、或更少地依赖于总体分布的尺度参数。这样可以方便地进行统计推断，例如设计置信区间和统计检验。<ref>{{cite journal |last1=Beran |first1=Rudolf |title=Prepivoting Test Statistics: A Bootstrap View of Asymptotic Refinements |url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1988-09_83_403/page/687 |journal=Journal of the American Statistical Association |date=1988-09 |volume=83 |issue=403 |pages=687 |doi=10.2307/2289292}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Beran |first1=Rudolf |title=Prepivoting to Reduce Level Error of Confidence Sets |url=https://archive.org/details/sim_biometrika_1987-09_74_3/page/457 |journal=Biometrika |date=1987-09 |volume=74 |issue=3 |pages=457 |doi=10.2307/2336685}}</ref>

* 在[[自助法|Bootstrap方法]]中，t-标准化具有特殊的重要意义。对经过t-标准化的统计量进行bootstrap，以更高阶的精确度对被估计的参数进行统计推断（如更精确地控制[[置信区间]]的置信水平，及更好地控制统计检验中的[[第一型及第二型错误|第一类错误]]概率），而对未经标准化的统计量直接进行bootstrap则只能有低阶精确度的统计推断。<ref>{{cite book |author1=Larry Wasserman |title=All of nonparametric statistics |publisher=Springer |isbn=978-1-4419-2044-7}}</ref>

==不足==

* 一般来说，t-标准化需要一个能够很好地估计待标准化统计量某个矩的估计量，设计这个估计量有时是很困难的，例如：观测到的是网络数据、或观测量间不是互相独立的（例如时间序列数据）。

* 除开简单的例子（例如正态分布），t-标准化后的统计量，其分布未必是容易计算或逼近的。

==参考文献==

[[Category:机器学习]]
[[Category:统计学比率]]