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'''过渡矩阵法'''( '''T-matrix method''', '''TMM''' ) 是一种非球形粒子[[散射|光散射]]计算方法，最初由彼得·沃特曼（Peter C. Waterman，1928–2012）于 1965 年提出。 <ref name="Waterman1965">{{Cite journal |last=Waterman |first=P.C. |year=1965 |title=Matrix formulation of electromagnetic scattering |journal=Proceedings of the IEEE |publisher=Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) |volume=53 |issue=8 |page=805–812 |doi=10.1109/proc.1965.4058 |issn=0018-9219}}</ref> <ref>{{Cite journal |last=Waterman |first=Peter C. |date=1971 |title=Symmetry, unitarity, and geometry in electromagnetic scattering |journal=Physical Review D |volume=3 |issue=4 |page=825–839 |bibcode=1971PhRvD...3..825W |doi=10.1103/PhysRevD.3.825}}</ref>该技术也称为零场法和扩展边界条件法 (EBCM)。 <ref name="Mishchenko1996">{{Cite journal |last=Mishchenko |first=Michael I. |last2=Travis |first2=Larry D. |last3=Mackowski |first3=Daniel W. |year=1996 |title=T-matrix computations of light scattering by nonspherical particles: A review |url=https://archive.org/details/sim_journal-of-quantitative-spectroscopy-radiative-transfer_1996-05_55_5/page/535 |journal=Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer |publisher=Elsevier BV |volume=55 |issue=5 |page=535–575 |doi=10.1016/0022-4073(96)00002-7 |issn=0022-4073}}</ref>该方法通过匹配[[馬克士威方程組|麦克斯韦方程组]]解的边界条件得到矩阵元素。它的应用已经扩展到包含占据散射体区域的各种类型的线性介质。 <ref>{{Cite book|last=Lakhtakia|first=Akhlesh|title=The Ewald–Oseen Extinction Theorem and the Extended Boundary Condition Method, in: The World of Applied Electromagnetics|date=2018|publisher=Springer|location=Cham, Switzerland|isbn=978-3-319-58403-4|doi=10.1007/978-3-319-58403-4_19}}</ref>

T-矩阵方法非常高效，已被广泛用于计算单个和复合粒子的电磁散射<ref>{{Cite book|last=Mishchenko|first=Michael I.|last2=Travis|first2=Larry D.|last3=Lacis|first3=Andrew A.|title=Scattering, Absorption, and Emission of Light by Small Particles|date=2002|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge, UK|isbn=9780521782524}}</ref> 。

== T矩阵的定义 ==
入射和散射电场被展开为球面矢量波函数 (SVWF)，这在[[米氏散射|米散射]]中也会遇到。它们是矢量[[亥姆霍兹方程]]的基本解，可以从[[球座標系|球坐标]]中的标量基本解、第一类球形[[贝塞尔函数|Bessel 函数]]和球形 Hankel 函数生成。因此，有两组线性独立的解，分别表示为<math>\mathbf{M}^1,\mathbf{N}^1</math>和<math>\mathbf{M}^3,\mathbf{N}^3</math> 。它们也分别称为常规和外发 SVWF。由此，我们可以将入射场表示为：

: <math>\mathbf{E}_{inc}= \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=-n}^n\left( a_{mn} \mathbf{M}^1_{mn}+ b_{mn} \mathbf{N}^1_{mn}\right).</math>

散射场以SVWF形式展开：

: <math>\mathbf{E}_{scat}= \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=-n}^n\left( f_{mn} \mathbf{M}^3_{mn}+ g_{mn} \mathbf{N}^3_{mn}\right).</math>

T 矩阵将入射场的扩展系数与散射场的扩展系数相关联。

: <math>\begin{pmatrix} f_{mn}\\ g_{mn}\end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} a_{mn} \\ b_{mn} \end{pmatrix}</math>

T 矩阵由散射体形状和材料决定，对于给定的入射场，可以由此计算散射场。

== T矩阵的计算 ==
计算 T 矩阵的标准方法是''零场法''，它依赖于 Stratton-Chu 方程。 <ref>{{Cite journal |last=Stratton |first=J. A. |last2=Chu |first2=L. J. |date=1939-07-01 |title=Diffraction Theory of Electromagnetic Waves |journal=Physical Review |publisher=American Physical Society (APS) |volume=56 |issue=1 |page=99–107 |bibcode=1939PhRv...56...99S |doi=10.1103/physrev.56.99 |issn=0031-899X}}</ref>他们指出，给定体积外的电磁场可以表示为包围体积的表面上的积分，仅涉及表面上场的切向分量。如果观察点位于该体积内，则积分消失。

通过利用散射体表面切向场分量的[[边值问题|边界条件]]，

: <math>\mathbf{n} \times (\mathbf{E}_{scat} + \mathbf{E}_{inc}) =\mathbf{n} \times \mathbf{E}_{int}</math>

和

: <math>\mathbf{n} \times (\mathbf{H}_{scat} + \mathbf{H}_{inc}) = \mathbf{n} \times \mathbf{H}_{int}</math> ,

其中<math>\mathbf{n}</math>是散射体表面的[[法线|法向量]]，可以根据散射体表面内部场的切向分量推导出散射场的积分表示。可以为入射场导出类似的表示。

通过根据 SVWF 展开内部场并利用它们在球面上的正交性，可以得出 T 矩阵的表达式。也可以从远场数据计算 T 矩阵。 <ref>{{Cite journal |last=Ganesh |first=M. |last2=Hawkins |first2=Stuart C. |date=2010 |title=Three dimensional electromagnetic scattering T-matrix computations |journal=Journal of Computational and Applied Mathematics |volume=234 |issue=6 |page=1702–1709 |doi=10.1016/j.cam.2009.08.018 |doi-access=free}}</ref>这种方法避免了与零场方法相关的数值稳定性问题。 <ref>{{Cite journal |last=Ganesh |first=M. |last2=Hawkins |first2=Stuart C. |date=2017 |title=Algorithm 975: TMATROM - A T-matrix Reduced Order Model Software |journal=ACM Transactions on Mathematical Software |volume=44 |page=9:1–9:18 |doi=10.1145/3054945 |s2cid=24838138}}</ref>


可以在网上找到几个用于评估 T 矩阵的数值代码[http://www.scattport.org/index.php/light-scattering-software/t-matrix-codes/list] {{Wayback|url=http://www.scattport.org/index.php/light-scattering-software/t-matrix-codes/list |date=20221216165818 }} [https://www.ugr.es/~aquiran/codigos.htm] {{Wayback|url=https://www.ugr.es/~aquiran/codigos.htm |date=20221227140000 }} [https://www.giss.nasa.gov/staff/mmishchenko/t_matrix.html] {{Wayback|url=https://www.giss.nasa.gov/staff/mmishchenko/t_matrix.html |date=20221216165719 }} 。

T矩阵还可以用零场法和扩展边界条件法（EBCM）以外的方法求得；因此，术语“T 矩阵方法”是一个宽泛的叫法。

== 参考文献 ==
{{Reflist|2}}
[[Category:电动力学]]
[[Category:电磁学]]
[[Category:计算物理学]]