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<!-- 檔案不存在 [[File:Sorgenfrey_plane.png|缩略图|Sorgenfrey平面上的反對角線和[[开集|開]]長方形，它們[[相交]]於一點]] ，可從英文維基百科取得 -->
在[[拓撲學]]，'''Sorgenfrey平面'''是一个經常引用到的[[反例]]<ref>{{Cite book|chapter=84. Sorgenfrey's Half-Open Square Topology|title=Counterexamples in Topology|url=http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-6290-9_6|publisher=Springer New York|date=1978|location=New York, NY|isbn=9780387903125|pages=103|first=Lynn Arthur|last=Steen|first2=J. Arthur|last2=Seebach|year=}}</ref>。它是兩條[[Sorgenfrey 直線|Sorgenfrey線]]的[[积空间|積]]（Sorgenfrey線是賦予了[[下限拓扑|下限拓撲]]的[[實數線]]）。Sorgenfrey線和Sorgenfrey平面是以美國數學家 Robert Sorgenfrey命名。

Sorgenfrey平面（現在開始用 <math>\mathbb{S}</math>表示）的其中一組[[基 (拓撲學)|基]]是所有「包含左邊、左下頂點、下邊而不包含其他邊、頂點」的長方形。<math>\mathbb{S}</math>上的[[开集|開集]]則是這種長方形的[[并集|並集]]。

<math>\mathbb{S}</math>能作為很多拓撲學上聽起來很可能正確的陳述的反例子。其一，它是[[林德勒夫空間]]的積，但它自己不是林德勒夫空間。其二，'''反對角線<math>\Delta = \{(x, -x) \mid x \in \mathbb{R}\}</math>'''是<math>\mathbb{S}</math>上的一個不可數離散子集，所以它是[[可分空间|不可分]]的，但<math>\mathbb{S}</math>是[[可分空间|可分]]的。這個例子展示了可分空間的[[闭集|閉子集]]不一定是可分的。其三，<math>K = \{(x, -x) \mid x \in \mathbb{Q}\}</math>和<math>\Delta \setminus K</math>是閉集，而且可以證明它們不能被[[分离集合|鄰域分離]]，所以<math>\mathbb{S}</math>不是[[正則空間]]。這展示了正則空間的積不一定是正則的，甚至展示了更強的結果：有限個完美正則空間的積也不一定是正則的。

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist}}

=== 來源 ===
* {{Cite book|first=John L.|last=Kelley|authorlink=John L. Kelley|year=1955|title=General Topology|url=https://archive.org/details/generaltopology0000kell|publisher=[[Van Nostrand Reinhold|van Nostrand]]|isbn=}}  Reprinted as {{Cite book|first=John L.|last=Kelley|authorlink=John L. Kelley|year=1975|title=General Topology|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|isbn=0-387-90125-6}}
* Robert Sorgenfrey, "On the topological product of paracompact spaces", ''Bull. Amer. Math. Soc.'' '''53''' (1947) 631–632.

[[Category:拓扑空间]]
[[Category:点集拓扑学]]