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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{线性代数}}

'''QR分解法'''是一種将[[矩阵分解]]的方式。這種方式，把[[矩阵]]分解成一个[[正交矩阵]]与一个[[上三角矩阵]]的积。QR分解经常用来解[[线性最小二乘法]]问题。QR分解也是特定[[特征值算法]]即[[QR算法]]的基础。

== 類別及定义 ==
===方陣===
任何[[方块矩阵]]A都可以分解為
: <math> A = QR </math>
其中''Q''是[[正交矩阵]]（意味着''Q''<sup>T</sup>''Q'' = ''I''）而''R''是上[[三角矩阵]]。如果''A''是[[可逆矩阵|非奇异]]的，且限定''R''的对角线元素为正，则这个因数分解是唯一的。

更一般的说，我们可以因数分解复数<math>m</math>×<math>n</math>矩阵（有着''m'' ≥ ''n''）为<math> m</math>×<math>n</math>[[幺正矩阵]]（在''Q''<sup> ∗</sup>''Q'' = ''I'' 的意义上，不需要是方阵）和<math>n</math>×<math> n</math>上三角矩阵的乘积。对m<n的情况，在''Q''是<math> m</math>×<math>m</math>方阵，而R则是<math> m</math>×<math>n</math>矩阵。

===長方形矩陣===
更一般地，我們可以將''m''×''n''的''A''矩陣，其中{{nowrap|''m'' ≥ ''n''}}，分解成''m''×''m''[[酉矩阵]]''Q''和''m''×''n''三角矩陣''R''的乘積。由於''m''×''n''上三角矩陣的底部(''m''−''n'')行完全由零組成，因此對''R''或''R''和''Q''進行分解通常很有用：  
:<math>
  A = QR = Q \begin{bmatrix} R_1 \\ 0 \end{bmatrix}
  = \begin{bmatrix} Q_1 & Q_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_1 \\ 0 \end{bmatrix}
  = Q_1 R_1,
</math>
其中''R''<sub>1</sub>是''n''×''n''上三角矩陣，0是{{nowrap|(''m'' − ''n'')×''n''}}零矩陣，''Q''<sub>1</sub>是''m''×''n''，''Q''<sub>2</sub>是{{nowrap|''m''×(''m'' − ''n'')}}，且''Q''<sub>1</sub>和''Q''<sub>2</sub>都是有正交列。
{{TransH}}
{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|loc=§5.2}} call ''Q''<sub>1</sub>''R''<sub>1</sub> the ''thin QR factorization'' of ''A''; Trefethen and Bau call this the ''reduced QR factorization''.<ref name="Trefethen">{{cite book |last1=Trefethen |first1=Lloyd N. |last2=Bau |first2=David III |author1-link=Nick Trefethen |title=Numerical linear algebra |url=https://archive.org/details/numericallineara0000tref |date=1997 |publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] |location=Philadelphia, PA |isbn=978-0-898713-61-9}}</ref> If ''A'' is of full [[matrix rank|rank]] ''n'' and we require that the diagonal elements of ''R''<sub>1</sub> are positive then ''R''<sub>1</sub> and ''Q''<sub>1</sub> are unique, but in general ''Q''<sub>2</sub> is not. ''R''<sub>1</sub> is then equal to the upper triangular factor of the [[Cholesky decomposition]] of ''A''<span style="vertical-align: 10%; margin-left: 0.1em">*</span> ''A'' (=&nbsp;''A''<sup>T</sup>''A'' if ''A'' is real).
{{TransF}}

===QL、RQ 和 LQ 分解===
类似的，我们可以定义A的QL，RQ和LQ分解。其中L是下三角矩陣。

== QR分解的求法 ==

QR分解的实际计算有很多方法，例如[[Givens旋转]]、[[Householder变换]]，以及[[Gram-Schmidt正交化]]等等。每一种方法都有其优点和不足。

{{see also|格拉姆-施密特正交化}}

=== 使用Householder变换 ===
==== Householder变换 ====
[[Householder变换]]将一个向量关于某个[[平面 (数学)|平面]]或者[[超平面]]进行反射。我们可以利用这个操作对<math>m \times n ( m \geqq n)</math>的矩阵<math>A</math>进行QR分解。

矩阵<math>Q</math>可以被用于对一个向量以一种特定的方式进行反射变换，使得它除了一个维度以外的其他所有分量都化为0。

令<math>\mathbf{x}</math>为矩阵<math>A</math>的任一''m''维实列向量，且有<math>\|\mathbf{x}\| = |\alpha|</math>（其中<math>\alpha</math>为标量）。若该算法是通过[[浮点数]]实现的，则<math>\alpha</math>应当取和<math>\mathbf{x}</math>的第<math>k</math>维相反的符号（其中<math>x_k</math>是要保留不为0的项），这样做可以避免精度缺失。对于复数的情况，令
:<math> \alpha = - \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg x_k} \|\mathbf{x}\|</math>
{{harv|Stoer|Bulirsch|2002|p=225}}，并且在接下来矩阵<math>Q</math>的构造中要将矩阵转置替换为共轭转置。

接下来，设<math>\mathbf{e}_1</math>为单位向量<math>(1, 0, \cdots, 0)^T</math>，||·||为[[欧几里德范数]]，<math>I</math>为<math>m \times m</math>单位矩阵，令
: <math>\mathbf{u} = \mathbf{x} - \alpha\mathbf{e}_1 </math> ， 
: <math>\mathbf{v} = {\mathbf{u}\over\|\mathbf{u}\|} </math> ， 
: <math>Q = I - 2 \mathbf{v}\mathbf{v}^T </math> 。 

或者，若<math>A</math>为复矩阵，则
: <math>Q = I - (1+w)\mathbf{v}\mathbf{v}^H</math>，其中<math>w = \mathbf{x}^H\mathbf{v}\mathbf{/}\mathbf{v}^H\mathbf{x} </math>
: 式中<math>\mathbf{x}^H</math>是<math>x</math>的[[共轭转置]]（亦称'''埃尔米特共轭'''或'''埃尔米特转置'''）。

则<math>Q</math>为一个<math>m \times m</math>的Householder矩阵，它满足
: <math>Q\mathbf{x} = (\alpha, 0, \cdots, 0)^T \ </math>

利用Householder矩阵，可以将一个<math>m \times n</math>的矩阵<math>A'</math>变换为上三角矩阵。
首先，我们将A左乘通过选取矩阵的第一列得到列向量<math>x</math>的Householder矩阵<math>Q_1</math>。这样，我们得到的矩阵<math>Q_1 A</math>的第一列将全部为0（第一行除外）：

:<math>Q_1A = \begin{bmatrix}
                   \alpha_1&\star&\dots&\star\\
                      0    &     &    &    \\
                   \vdots  &     &  A' &    \\
                      0    &     &     & \end{bmatrix}</math>

这个过程对于矩阵<math>A'</math>（即<math>Q_1 A</math>排除第一行和第一列之后剩下的方阵）还可以继续做下去，从而得到另一个Householder矩阵<math>Q_2</math>。注意到<math>Q_2</math>其实比<math>Q_1</math>要小，因为它是在<math>Q_1 A</math>而非<math>A</math>的基础上得到的。因此，我们需要在<math>Q_2</math>的左上角补上1，或者，更一般地来说：

:<math>Q_k = \begin{bmatrix}
                  I_{k-1} & 0\\
                   0  & Q_k'\end{bmatrix} </math>

将这个迭代过程进行<math>t</math>次之后（<math>t = \min(m-1, n)</math>）,将有
:<math> R = Q_t \cdots Q_2Q_1A</math>
其中R为一个上三角矩阵。因此，令
:<math> Q = Q_1^T Q_2^T \cdots Q_t^T, </math>
则<math>A = QR</math>为矩阵<math>A</math>的一个QR分解。

相比与Gram-Schmidt正交化，使用Householder变换具有更好的[[数值稳定性]]。

==== 例子 ====
现在要用Householder变换求解矩阵<math>A</math>的<math> QR</math> 分解。
:<math>A = 
       \begin{bmatrix}   0 & 3 & 1     \\
                         0 & 4 & -2     \\
                         2 & 1 & 1      \\
       \end{bmatrix}
</math> 

因为<math>\alpha_1 = [ 0,\ 0,\ 2 ]^T </math>, 令<math>a_1 = ||\alpha_1||_2 = 2</math>，则
:<math> \omega_1 = \frac{\alpha_1 - a_1e_1}{||\alpha_1 - a_1e_1||_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}[ -1,\ 0,\ 1 ]^T
</math> 
则有
:<math>H_1 = I - 2\omega_1\omega_1^H= 
       \begin{bmatrix}   0 & 0 & 1     \\
                         0 & 1 & 0     \\
                         1 & 0 & 0      \\
       \end{bmatrix}</math> 
从而，
:<math>H_1A = 
       \begin{bmatrix}   2 & 1 & 1     \\
                         0 & 4 & -2     \\
                         0 & 3 & 1      \\
       \end{bmatrix}</math> 
记<math>\beta = [4,\ 3]^T </math>, 则<math>b_1 = ||\beta_2||_2 = 5</math>。令
:<math>\omega_2 = \frac{\beta_2 - b_1e_1}{||\beta_2 - b_1e_1||_2} = \frac{1}{\sqrt{10}}[ -1,\ 3 ]^T </math>
:<math>\hat{H_2} = I - 2\omega_2\omega^H = \frac{1}{5}
       \begin{bmatrix}   4 & 3      \\
                         3 & -4      \\
       \end{bmatrix}</math> 
记，
:<math>H_2=
       \begin{bmatrix}   1 & 0^T      \\
                         0 & \hat{H_2}      \\
       \end{bmatrix}=
       \begin{bmatrix}   1 & 0 & 0     \\
                         0 & \frac{4}{5} & \frac{3}{5}     \\
                         0 & \frac{3}{5} & -\frac{4}{5}      \\
       \end{bmatrix}</math>
则， 
:<math> R = H_2(H_1A) =  
       \begin{bmatrix}   2 & 1 & 1     \\
                         0 & 5 & -1     \\
                         0 & 0 & -2      \\
       \end{bmatrix}</math>
那么
:<math>Q = H_1H_2 = \frac{1}{5}
       \begin{bmatrix}   0 & 3 & -4     \\
                         0 & 4 & 3     \\
                         5 & 0 & 0      \\
       \end{bmatrix}
</math>

=== 使用吉文斯旋转 ===
====吉文斯旋转====
吉文斯旋转表示为如下形式的[[矩阵]]

:<math>G(i, j, \theta) = 
       \begin{bmatrix}   1   & \cdots &    0   & \cdots &    0   & \cdots &    0   \\
                      \vdots & \ddots & \vdots &        & \vdots &        & \vdots \\
                         0   & \cdots &    c   & \cdots &    -s   & \cdots &    0   \\
                      \vdots &        & \vdots & \ddots & \vdots &        & \vdots \\
                         0   & \cdots &   s   & \cdots &    c   & \cdots &    0   \\
                      \vdots &        & \vdots &        & \vdots & \ddots & \vdots \\
                         0   & \cdots &    0   & \cdots &    0   & \cdots &    1
       \end{bmatrix}</math>

这里的 ''c'' = cos(''&theta;'') 和 ''s'' = sin(''&theta;'') 出现在第 ''i'' 行和第 ''j'' 行与第 ''i'' 列和第 ''j'' 列的交叉点上。就是说，吉文斯旋转矩阵的所有非零元定义如下：:
:<math>\begin{align}
 g_{k\, k} &{}= 1 \qquad \text{for} \ k \ne i,\,j\\
 g_{i\, i} &{}= c \\
 g_{j\, j} &{}= c \\
 g_{i\, j} &{}= s \\
 g_{j\, i} &{}= -s
\end{align}</math>

乘积 {{math|''G''(''i'', ''j'', ''θ'')'''x'''}} 表示向量 '''x''' 在 (''i'',''j'')平面中的逆时针旋转 &theta; 弧度。

====吉文斯旋转作用于QR分解====
对于一个向量
:<math>
\begin{array}{lcl}
A &=& \begin{bmatrix}
 a\\
 b\\
\end{bmatrix} \\
\end{array}</math>
如果，<math> r = \sqrt{a^2 + b^2} </math> , <math> c = \frac{a}{r} </math> ,  <math> s = - \frac{b}{r} </math> , 
那么，就存在旋转矩阵G，使<math> A </math> 底部转成0。
:<math> A_{2\_Sub} = 
       \begin{bmatrix}    c & -s   \\
                          s & c      \\
       \end{bmatrix}
       \begin{bmatrix}     a    \\
                           b      \\
       \end{bmatrix}
=      \begin{bmatrix}     r    \\
                           0      \\
       \end{bmatrix}
</math>
每一次的旋转，吉文斯旋转都可以将一个元素化成0，直到将原始矩阵转成一个上三角矩阵，则完成分解。
:<math> A = QR </math>
:<math> Q = G_1^TG_2^T \cdots G_k^T </math>  

====例子====
:<math>A_1 = 
       \begin{bmatrix}   6 & 5 & 0     \\
                         5 & 1 & 4     \\
                         0 & 4 & 3      \\
       \end{bmatrix}</math> 

:<math> r = \sqrt{6 ^2 + 5^2} \approx 7.8102 </math> 
:<math> c = 6 / r \approx 0.7682 </math>
:<math> s = -5 / r \approx -0.6402 </math>

:<math> A_2 = G_1A_1 = 
       \begin{bmatrix}   c & -s & 0     \\
                         s & c & 0     \\
                         0 & 0 & 1      \\
       \end{bmatrix}
       \begin{bmatrix}   6 & 5 & 0     \\
                         5 & 1 & 4     \\
                         0 & 4 & 3      \\
       \end{bmatrix} \approx

       \begin{bmatrix}   7.8102 & 4.4813 & 2.5607     \\
                         0 &  -2.4327& 3.0729     \\
                         0 & 4 & 3      \\
       \end{bmatrix}

</math>
对于:<math> A_2 </math>子矩阵 :<math> A_{2\_Sub} </math>
:<math> A_{2\_Sub} = 
       \begin{bmatrix}     -2.4327& 3.0729     \\
                          4 & 3      \\
       \end{bmatrix}
</math>
:<math> r = \sqrt{(-2.4327)^2 + 4^2} \approx 4.6817 </math> 
:<math> c = -2.4327 / r \approx -0.5196 </math>
:<math> s = - 5 / r \approx -0.8544 </math>

:<math> G_2A_2 = 
       \begin{bmatrix}   1 & 0 & 0     \\
                         0 & c & -s     \\
                         0 & s & c      \\
       \end{bmatrix}
       \begin{bmatrix}   7.8102 & 4.4813 & 2.5607  \\
                         0 &  -2.4327& 3.0729      \\
                         0 & 4 & 3                  \\
       \end{bmatrix} \approx

       \begin{bmatrix}   7.8102 & 4.4813 & 2.5607     \\
                         0 & 4.6817 & 0.9664     \\
                         0 & 0 & -4.1843      \\
       \end{bmatrix}

</math>
:<math> R = G_2A_2 = G_2 G_1 A_1 </math>
:<math> Q = G_1^T G_2^T =
       \begin{bmatrix}   0.7682 & 0.3327 & 0.5470     \\
                         0.6402 & -0.3992 & -0.6564     \\
                         0 & 0.8544 & -0.5196      \\
       \end{bmatrix}

</math>

=== 使用格拉姆-施密特正交化方法 ===
==== 基本思想 ====

[[File:GSO.png|thumb|right|300px|图1 <math>\boldsymbol{v}</math>在<math>\boldsymbol{V}^2</math>上投影，构造<math>\boldsymbol{V}^3</math>上的正交基<math>\boldsymbol{\beta}</math>]]

格拉姆-施密特正交化的基本想法，是利用[[投影原理]]在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

设<math>\boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V^n}</math>。<math>\boldsymbol{V}^k</math>是<math>\boldsymbol{V}^n</math>上的<math>k</math>维子空间，其标准正交基为<math>\{ \boldsymbol{\eta}_1,\ldots, \boldsymbol{\eta}_k \}</math>，且<math>\boldsymbol{v}</math>不在<math>\boldsymbol{V}^k</math>上。由投影原理知，<math>\boldsymbol{v}</math>与其在<math>\boldsymbol{V}^k</math>上的投影<math>\mathrm{proj}_{\boldsymbol{V^k}} \boldsymbol{v}</math>之差
:<math>
 \boldsymbol{\beta} 
 = \boldsymbol{v} - \sum_{i=1}^{k}\mathrm{proj}_{\boldsymbol{\eta}_i}\,\boldsymbol{v}
 = \boldsymbol{v} - \sum_{i=1}^{k}\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{\eta}_i \rangle \boldsymbol{\eta}_i
 </math>


是正交于子空间<math>\boldsymbol{V}^k</math>的，亦即<math>\boldsymbol{\beta}</math>正交于<math>\boldsymbol{V}^k</math>的正交基<math>\boldsymbol{\eta}_i</math>。因此只要将<math>\boldsymbol{\beta}</math>单位化，即

:<math>
\boldsymbol{\eta}_{k+1} 
= \frac{\boldsymbol{\beta}}{\|\boldsymbol{\beta}\|} 
= \frac{\boldsymbol{\beta}}{\sqrt{\langle \boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\beta} \rangle }}
</math>

那么<math>\{ \boldsymbol{\eta}_1,\ldots, \boldsymbol{\eta}_{k}, \boldsymbol{\eta}_{k+1} \}</math>就是<math>\boldsymbol{V}^k</math>在<math>\boldsymbol{v}</math>上扩展的子空间<math>\mathrm{span}\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{\eta}_1,...,\boldsymbol{\eta}_k\}</math>的标准正交基。

根据上述分析，对于向量组<math>\{ \boldsymbol{v}_1,\ldots, \boldsymbol{v}_{m} \}</math>张成的空间<math>\boldsymbol{V}^m</math> (<math>m<n</math>)，只要从其中一个向量（不妨设为<math> \boldsymbol{v}_1 </math>）所张成的一维子空间<math> \mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_1\} </math>开始（注意到<math> \boldsymbol{v}_1 </math>就是<math> \mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_1\} </math>的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到<math>\boldsymbol{V}^n</math> 的一组正交基。这就是'''格拉姆-施密特正交化'''。

==== 格拉姆-施密特正交化算法 ====
首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为<math>\{ \boldsymbol{v}_1,\ldots, \boldsymbol{v}_{n} \}</math>。Gram-Schmidt正交化的过程如下：

{|
|width="20px"| ||<math>\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{v}_1,</math> 
|width="20px"| ||<math>\boldsymbol{\eta}_1 = {\boldsymbol{\beta}_1 \over \|\boldsymbol{\beta}_1\|}</math>
|-
|| ||<math>\boldsymbol{\beta}_2 
         = \boldsymbol{v}_2-\langle \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{\eta}_1 \rangle \boldsymbol{\eta}_1, </math>
|| ||<math>\boldsymbol{\eta}_2 = {\boldsymbol{\beta}_2 \over \|\boldsymbol{\beta}_2\|}</math>
|-
|| ||<math>\boldsymbol{\beta}_3 
            = \boldsymbol{v}_3 -
              \langle \boldsymbol{v}_3, \boldsymbol{\eta}_1 \rangle \boldsymbol{\eta}_1 -
              \langle \boldsymbol{v}_3, \boldsymbol{\eta}_2 \rangle \boldsymbol{\eta}_2 , 
     </math>
|| ||<math>\boldsymbol{\eta}_3 = {\boldsymbol{\beta}_3 \over \|\boldsymbol{\beta}_3\|}</math>
|-
|| ||align="center"|<math>\vdots</math>
|| ||align="center"|<math>\vdots</math>
|-
|| ||<math>\boldsymbol{\beta}_n = \boldsymbol{v}_n-\sum_{i=1}^{n-1}\langle \boldsymbol{v}_n, \boldsymbol{\eta}_i \rangle \boldsymbol{\eta}_i, </math>
|| ||<math>\boldsymbol{\eta}_n = {\boldsymbol{\beta}_n\over\|\boldsymbol{\beta}_n\|}</math>
|}

这样就得到<math>\mathrm{span}\{ \boldsymbol{v}_1, \ldots , \boldsymbol{v}_n \}</math>上的一组正交基<math>\{ \boldsymbol{\beta}_1, \ldots , \boldsymbol{\beta}_n \}</math>，以及相应的标准正交基<math>\{ \boldsymbol{\eta}_1, \ldots , \boldsymbol{\eta}_n \}</math>。
==== 例子 ====
现在要用格拉姆-施密特变换求解矩阵<math>A</math>的<math> QR</math> 分解。
:<math>A = 
       \begin{bmatrix}   1 & 2 & 4     \\
                         0 & 0 & 5     \\
                         0 & 3 & 6      \\
       \end{bmatrix}
</math> 
令， <math>a = [1 , 0 , 0]</math>
:<math>q_1 = \frac{a}{||a||} =
       \begin{bmatrix}   1     \\
                         0     \\
                         0      \\
       \end{bmatrix}
</math>
:<math>\hat{q_2} = b - (b * q_1)q_1 =
       \begin{bmatrix}   2     \\
                         0     \\
                         3      \\
       \end{bmatrix} - 2
       \begin{bmatrix}   1   \\
                         0     \\
                         0      \\
       \end{bmatrix} = 
       \begin{bmatrix}   0     \\
                         0     \\
                         3      \\
       \end{bmatrix}
</math>
:<math>q_2 = \frac{\hat{q_2}}{||\hat{q_2}||} =
       \begin{bmatrix}   0   \\
                         0     \\
                         1      \\
       \end{bmatrix}
</math>
:<math>\hat{q_3} = c - (c * q_1)q_1 - (c * q_2)q_2 =
       \begin{bmatrix}   4     \\
                         5     \\
                         6      \\
       \end{bmatrix} - 4
       \begin{bmatrix}   1   \\
                         0     \\
                         0      \\
       \end{bmatrix} - 6
       \begin{bmatrix}   0   \\
                         0     \\
                         1      \\
       \end{bmatrix} 
= 
       \begin{bmatrix}   0     \\
                         5     \\
                         0      \\
       \end{bmatrix}
</math>
:<math>q_3 = \frac{\hat{q_3}}{||\hat{q_3}||} =
       \begin{bmatrix}   0   \\
                         1     \\
                         0      \\
       \end{bmatrix}
</math>
那么可知，
:<math> Q = 
       \begin{bmatrix}   1 & 0 & 0     \\
                         0 & 0 & 1     \\
                         0 & 1 & 0      \\
       \end{bmatrix}
</math>
由<math> A = QR</math>，可知，
:<math> R = 
       \begin{bmatrix}   1 & 2 & 4     \\
                         0 & 3 & 6      \\
                         0 & 0 & 5     \\
       \end{bmatrix}
</math>

== Matlab ==
MATLAB以qr函数来执行QR分解法，其语法为
: <math>[Q,R]=qr(A)</math>

:其中Q代表正规正交矩阵，
:而R代表上三角形矩阵。

此外，原矩阵A不必为正方矩阵；
如果矩阵A大小为<math>m \times n</math>，则矩阵Q大小为<math>m \times m</math>，矩阵R大小为<math>m \times n</math>。

[[Category:矩阵分解]]

== 用途 ==
=== 解线性方程组 ===
对于直接求解线性方程组的逆，用QR分解的方法求解会更具有数据的稳定性。
对于求解一个线性系统<math>Ax = b</math>, 这里<math>A</math>的维度是<math>m \times n</math>。

如果<math>m \leq n</math>,  那么<math>A^{T} =QR</math>,这里<math>Q^{T} = Q^{-1}</math>)。

<math> R </math> 的形式是 <math>R = \begin{bmatrix} R_1 \\ 0 \end{bmatrix}</math>，<math>R_1</math>是<math>R</math>上不为0的部分。
那么对于
:<math>
x = Q \begin{bmatrix}
    \left(R_1^\textsf{T}\right)^{-1}b \\
                           0
  \end{bmatrix}
</math>

如果<math> m > n</math>,  那么<math>A =QR</math>,这里<math>Q^{T} = Q^{-1}</math>)。本质是最小化<math>||A\hat{x} - b||</math>
:<math>\hat{x} = R_1^{-1} \left(Q_1^\textsf{T} b\right) </math>

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
*{{cite web |author1=MIT |title=QR Decomposition |url=https://www.youtube.com/watch?v=TRktLuAktBQ&t=300s |website=Youtube |accessdate=2020-07-01 |archive-date=2020-07-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200727160442/https://www.youtube.com/watch?v=TRktLuAktBQ&t=300s |dead-url=no }}
*{{cite web |author1=Poujh |title=QR Decomposition Givens旋转 |url=https://www.youtube.com/watch?v=lxQl2IO_sSA&t=182s |website=Youtube |accessdate=2020-07-01 |archive-date=2020-09-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200901044234/https://www.youtube.com/watch?v=lxQl2IO_sSA&t=182s |dead-url=no }}