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{{NoteTA |G1=Math}}
在[[統計學]]裡，'''「Phi相關係數」'''（{{lang-en|Phi coefficient}}）（符號表示為：<math>\phi</math> 或 <math> r_\phi</math>）是測量'''兩個二元變數'''（{{lang-en|binary variables or dichotomous variables}}）之間[[相關 (概率論)|相關性]]的工具，由[[卡爾·皮爾遜|卡爾·皮爾森]]所發明 <ref>Cramer, H.  1946. ''Mathematical Methods of Statistics''. Princeton: Princeton  University Press, p282 (second paragraph). ISBN 0-691-08004-6</ref>。他也發明了與Phi相關係數有密切關聯的[[皮爾森卡方檢定]]（{{lang-en|Pearson's chi-squared test}}。一般所稱的[[卡方檢驗|卡方檢定]]，若未明指種類，即指此），以及發明了測量兩個連續變數之間相關程度的[[皮爾森積差相關係數]]（{{lang-en|Pearson's r}}。一般所稱的[[相關係數]]，若未明指種類，即指此）。

'''Phi 相關係數'''在[[機器學習]]的領域又稱為{{link-en|Matthews相關係數|Matthews correlation coefficient}}。

== 定義 ==
首先將兩個變數排成2×2[[列聯表]]，注意 1 和 0 的位置必須如同下表，若只變動 X 或只變動 Y 的 0/1 位置，計算出來的Phi相關係數會正負號相反。Phi相關係數的基本概念是：兩個二元變數的觀察值若大多落在2×2列聯表的「主對角線」（{{lang-en|diagonal}}：左上－右下線）欄位，亦即若觀察值大多為 <math>(X, Y) = (1, 1), (0, 0)</math> 這兩種組合，則這兩個變數呈正相關。反之，若兩個二元變數的觀察值大多落在「非對角線」（{{lang-en|off-diagonal}}：主對角線以外的位置）欄位，對應於2×2列聯表，亦即若觀察值大多為 <math>(X, Y) = (0, 1), (1, 0)</math> 這兩種組合，則這兩個變數呈負相關。例如我們從兩個隨機二元變數（X, Y）抽樣得出這樣的2×2列聯表：

<center>
{| class="wikitable" 
|-----
!        !!y = 1 !! y = 0 !! 總計
|-----
! x = 1 || <math>n_{11}</math> || <math>n_{10}</math> || <math>n_{1\bullet}</math>
|-----
! x = 0 || <math>n_{01}</math> || <math>n_{00}</math> || <math>n_{0\bullet}</math>
|-----
! 總計     || <math>n_{\bullet1}</math> || <math>n_{\bullet0}</math> || <math>n</math>
|}
</center>

其中 ''n''<sub>11</sub>,  ''n''<sub>10</sub>, ''n''<sub>01</sub>, ''n''<sub>00</sub>都是非負數的欄位計次值，它們加總為 <math>n</math> ，亦即觀察值的個數。由上面的表格可以得出 X 和 Y 的 Phi相關係數如下：

: <math>\phi = \frac{n_{11}n_{00}-n_{10}n_{01}}{\sqrt{n_{1\bullet}n_{0\bullet}n_{\bullet0}n_{\bullet1}}}</math>

== 實例 ==
研究者欲觀察性別與慣用手的相關性。'''[[虛無假設]]是：性別與慣用手無相關性'''。觀察對象是隨機抽樣出來的個人，身上有兩個二元變數（性別 X ，慣用手 Y），X 有兩種結果值（男=1／女=0），Y也有兩種結果值（右撇子=1／左撇子=0）。

'''觀察兩個二元變數的相關性可以使用Phi相關係數'''。假設[[抽樣#抽樣方法|簡單隨機抽樣]]100人，得出如下的2×2列聯表：

<center>
{| class="wikitable"
|-----
!         !! 男=1 !! 女=0 !! 總計
|-----
! 右=1
| 43 || 44  || 87
|-----
! 左=0
| 9 || 4  || 13
|-----
! 總計
| 52 || 48 || 100
|}</center>

本例的Phi相關係數：
:<math> \phi = {(43 \times 4 - 44 \times 9) \over \sqrt{87 \times 13 \times 48 \times 52} } = -0.133</math>

本處暫不介紹Phi相關係數的[[皮尔逊积矩相关系数#统计推断：显著性检验与置信区间|顯著性檢定]]，僅簡介其詮釋：假設−0.133的相關係數檢定為顯著，在本例對變數 1/0 的指定下，代表身為男性與身為右撇子有輕微的負相關，也就是男性右撇子的比例略低於女性右撇子的比例；或者反過來說，男性左撇子的比例略高於女性左撇子的比例。

== 與Pearson相關係數的異同 ==
「Phi相關係數」與「Pearson相關係數」在詮釋上非常類似；事實上，'''使用Pearson相關係數來計算兩個二元變數（各輸入成1/0）之間的相關性時，就會得出Phi相關係數'''<ref>Guilford, J. (1936). Psychometric Methods. New York: McGraw–Hill Book Company, Inc.</ref> 。

儘管Phi相關係數只是把Pearson相關係數簡化為兩個二元變數的情況，但詮釋這兩種相關係數時仍必須注意其差別。'''Pearson相關係數'''的值從−1 到 +1，±1 是其兩個端點，指出完全正相關與完全負相關，0則是無相關。'''Phi相關係數'''的極值則受到兩個變數各別的二元結果比例所影響，當兩個變數的二元結果都是50:50時，Phi值才會從−1 到 +1。<ref>詳見：Davenport, E., & El-Sanhury, N. (1991). Phi/Phimax: Review and Synthesis. Educational and Psychological Measurement, 51, 821–828.</ref>

== 與Pearson卡方統計值的關係 ==
一個2×2[[列聯表]]的[[皮爾森卡方檢定|卡方統計值]]（<math>\chi^2</math>），與Phi相關係數呈下述關係<ref>Everitt B.S. (2002) ''The Cambridge Dictionary of Statistics'', CUP. ISBN 0-521-81099-X</ref>：

: <math>\phi^2 = \frac{\chi^2}{n}</math>
:其中 <math>n</math> 是觀察值的個數。

==亦參見==
*[http://www.vassarstats.net/index.html Phi相關係數的網頁版計算器]{{Wayback|url=http://www.vassarstats.net/index.html |date=20130801151605 }}（還有許多的基礎統計教材和計算器）。
*[[列聯表]]
*{{link-en|Matthews相關係數|Matthews correlation coefficient}}
*{{link-en|Cramér's V|Cramér's V (statistics)}}：類別變數間相關性的另一個測量法。
*{{link-en|Polychoric相關|Polychoric correlation}}：當兩個連續變項被人為地改成二分變項時，求其相關性。其中一種是「{{link-en|四分相關|Tetrachoric correlation}}」。

==註腳==
<references/>

{{Statistics}}

{{DEFAULTSORT:Phi Coefficient}}
[[Category:類別資料]]
[[Category:統計相關性]]
[[Category:統計值]]
[[Category:列聯表]]
[[Category:统计学比率]]