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[[数学]]上，[[射影線性群|射影特殊线性群]] '''PSL (2,7)'''（同构于 '''GL(3,2)'''）是一个[[有限群|有限]][[单群]]，在[[代数]]、[[几何]]和[[数论]]中有重要应用。 它是{{le|Klein四次曲线|Klein quartic}}的[[自同构群]]，也是{{le|Fano平面|Fano plane}}的[[对称群]]。 具有168个元素的 '''PSL (2,7)''' 是继[[交错群]] A<sub>5</sub>（5文字的对称群的子群，有60个元素，同构于正二十面体的旋转对称群，也同构于 PSL (2,5)）之后第二小的[[非阿贝尔群|非阿贝尔单群]]。

== 定义 ==
一般线性群 GL (2,7) 由 F<sub>7</sub>（七元素的[[有限域]]）上所有可逆的二阶[[方塊矩陣|方阵]]组成。它们的行列式不为零。[[子群]] SL (2,7) 包含所有行列式为单位的矩阵。PSL (2,7) 则定义为在

: SL(2, 7)/{I, −I}

上视 I 和 -I 等同得到的[[商群]]，其中 I 是[[单位矩阵]]。 在本文中，我们用 G 表示任一与 PSL (2,7) 同构的群。

== 性质 ==
''G'' = PSL(2, 7) 有 168 个元素，这可通过统计可能的列数得到：第一列有7<sup>2</sup>−1 = 48 种可能，第二列有 7<sup>2</sup>−7 = 42。为使行列式为 1，必须再除以 7−1 = 6，又因视 I 和 -I 为等同，必须再除以 2，结果是 (48×42)/(6×2) = 168.

有一个普遍的结果，即 PSL(''n'', ''q'') 是[[单群]]当 ''n'', ''q'' ≥ 2 (''q'' 是某质数之幂), 除非 (''n'', ''q'') = (2, 2) or (2, 3). PSL(2, 2) [[群同構|同构]]于[[对称群 (n次对称群)|对称群]] ''S''<sub>3</sub>, 而 PSL(2, 3) 同构于[[交错群]] ''A''<sub>4</sub>. 实际上，PSL(2, 7) 是第二小的非阿贝尔单群，仅次于[[交错群]] A<sub>5</sub> = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).

共轭类和不可约表示的个数是 6。共轭类的大小分别是 1, 21, 42, 56, 24, 24。不可约表示的维数分别是 1, 3, 3, 6, 7, 8.

特征标表

: <math>\begin{array}{r|cccccc}
         & 1A_{1} & 2A_{21} & 4A_{42} &  3A_{56} & 7A_{24} & 7B_{24}  \\  \hline
\chi_1  &   1  & 1  & 1 &  1 & 1  & 1  \\ 
\chi_2  &   3  & -1 & 1 &  0 & \sigma & \bar \sigma  \\ 
\chi_3  &   3  & -1 & 1 &  0 & \bar \sigma  & \sigma  \\ 
\chi_4  &   6  & 2  & 0 &  0 & -1  & -1  \\ 
\chi_5  &   7  & -1 &-1 &  1 & 0  & 0  \\ 
\chi_6  &   8  & 0  & 0 & -1 & 1  & 1  \\ 
\end{array},</math>

这里：

: <math>\sigma = \frac{-1+i\sqrt{7}}{2}.</math>

下表按类中元素的阶、类的大小、每个代表元在 GL(3, 2) 中的最小多项式和一个代表元在 PSL(2, 7) 中的函数表示描述各个共轭类。注意类 7A 在 7B 在一个自同构下互换，因此出自 GL(3, 2) 和 PSL(2, 7) 的代表元可任意切换。
{| class="wikitable sortable"
!阶
!大小
!最小多项式
!函数
|-
|1
|1
|''x''+1
|''x''
|-
|2
|21
|''x''<sup>2</sup>+1
|−1/''x''
|-
|3
|56
|''x''<sup>3</sup>+1
|2''x''
|-
|4
|42
|''x''<sup>3</sup>+''x''<sup>2</sup>+''x''+1
|1/(3−''x'')
|-
|7
|24
|''x''<sup>3</sup>+''x''+1
|''x'' + 1
|-
|7
|24
|''x''<sup>3</sup>+''x''<sup>2</sup>+1
|''x'' + 3
|}
群的阶是 168=3×7×8，因此必有 3，7，8 阶的 [[西羅定理|Sylow 子群]]。头两个容易描述，它们是循环群，[[循環群|因为任何质数阶群是循环群]]。共轭类 3''A''<sub>56</sub> 中任一元素生成 Sylow 3-子群。共轭类 7''A''<sub>24</sub>, 7''B''<sub>24</sub> 中任一元素生成 Sylow 7-子群。Sylow 2-子群是八阶二面体群。它可以描述为共轭类 2''A''<sub>21</sub> 中任一元素的[[中心化子]]<sub>。</sub> 在用 GL(3, 2) 表示时，任一 Sylow 2-子群由上三角矩阵组成。

该群及其 Sylow 2-子群提供了多个正规 p-补定理在 ''p'' = 2 情形时的反例。

== 在射影空间上的作用 ==
''G'' = PSL(2, 7) 通过[[莫比乌斯变换|分式线性变换]]作用在七元域上的射影直线 '''P'''<sup>1</sup>(7) 上：

<math>\mbox{For  } \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mbox{PSL}(2, 7) \mbox{  and  } x \in \mathbf{P}^1(7),\ \gamma \cdot x = \frac{ax+b}{cx+d}</math>

'''P'''<sup>1</sup>(7) 的任一保定向的自同构均由此产生，而也因此 ''G'' = PSL(2, 7) 在几何上可以考虑作射影直线 '''P'''<sup>1</sup>(7) 的对称群；整个可能的保定向的射影直线自同构群却是它的 2 阶扩张 PGL(2, 7)，而这个射影直线的直射变换群则是整个点的[[对称群 (n次对称群)|对称群]]。

但是， PSL(2, 7) 亦[[群同構|同构]]于 PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2))，二元域上三阶方阵的特殊（一般）线性群。以相似的方式， ''G'' = PSL(3, 2) 作用在二元域上的[[射影平面]] '''P'''<sup>2</sup>(2) —— 或叫Fano 平面上：

<math>\mbox{For } \gamma = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \in \mbox{PSL}(3, 2) \mbox{ and } \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbf{P}^2(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} ax+by+cz \\ dx+ey+fz \\ gx+hy+iz \end{pmatrix}</math>

同样，任一 '''P'''<sup>2</sup>(2) 的自同构由此产生，''G'' = PSL(3, 2) 可视为该射影平面的[[空間對稱群|对称群]]。Fano 平面可用于描述[[八元数]]的乘法，因此 ''G'' 在八元数的乘法表上也有一个作用。

== Klein 四次曲面的对称群 ==
[[File:Heptagonal_tiling.svg|缩略图|Klein 四次曲面可以实现为[[3阶七边形镶嵌|3阶正七边形镶嵌]]的商曲面。]]
[[File:Order-7_triangular_tiling.svg|缩略图|对偶地，Klein 四次曲面 可以实现为[[七階三角形鑲嵌|7阶三角形镶嵌]]之商曲面。]]
Klein 四次曲面是是在[[复数 (数学)|复数域]] '''C''' 上按下面的四次多项式定义的射影簇：

: ''x''<sup>3</sup>''y'' + ''y''<sup>3</sup>''z'' + ''z''<sup>3</sup>''x'' = 0.

这是一个亏格 g=3 的紧[[黎曼曲面|黎曼面]]，也是仅有的使共形自同构群的大小达到最大值 84(''g''−1) 的紧黎曼面。这个界是因为 Hurwitz 自同构定理，该定理对所有 ''g''>1 成立。这样的“[[赫爾維茨曲面|Hurwitz]] 曲面”很稀少；下一个存在这样曲面的亏格数为 ''g'' = 7，再下一个是 ''g'' = 14。

如同所有的 [[赫爾維茨曲面|Hurwitz 曲面]]，Klein 四次曲线可以给定一个[[庞加莱度量|常负曲率]]的度量，并以[[正多边形|正]] (双曲的) [[七边形]]镶嵌，作为[[正七邊形鑲嵌|3阶七边形镶嵌]]之商，而曲面作为 Riemann 面或代数曲线的自同构也就是镶嵌的自同构。对于 Klein 四次曲面来说，这会得到一个 24 个七边形构成的镶嵌，因此群的阶为 24 × 7 = 168. 对偶地，它可以用 56 个等边三角形镶嵌，共计 24 个[[頂點 (幾何)|顶点]]，每个顶点度数为 7，成为[[七階三角形鑲嵌|7阶三角形镶嵌]]之商。 

Klein 四次曲面在数学的多个领域都有出现，包括表示论、同调论、八元数乘法、[[费马大定理|Fermat 大定理]]和具有类数 1 的虚二次数域上的Stark 定理。

== Mathieu 群 ==
PSL(2, 7) 是 [[马蒂厄群|Mathieu 群]] M<sub>21</sub> 的极大子群。Mathieu 群 M<sub>21</sub> 和 M<sub>24</sub> 可由 PSL(2, 7) 作扩张得到。这些扩张可以用 Klein 四次曲面的镶嵌的语言解释，但不能通过镶嵌的几何对称实现。<ref name="richter">{{Harvard citation|Richter}}</ref>

== 群作用 ==
PSL(2,7) 作用在多种集合上：

* 解释为 F<sub>7</sub> 上射影直线的线性自同构，它在一个 8 点集上的作用是 2-可迁的，而稳定化子为 3 阶的。 (PGL (2,7) 具有 3-可迁性，稳定化子是平凡的。)
* 解释为 Klein 四次曲面镶嵌的自同构，它在 24 个[[頂點 (幾何)|顶点]]（或对偶地，24个七边形）上的作用是可迁的，稳定化子为7阶（对应于顶点 / 七边形的旋转）。
* 将它解释为 Mathieu 群 M<sub>21</sub> 的一个子群，后者作用于 21 个点，但它在这 21 个点上的作用并不可迁。

== 参考资料 ==
<references group="" responsive=""></references>{{refbegin}}
* {{citation|ref={{harvid|Richter}}|first=David A.|last=Richter|url=http://homepages.wmich.edu/~drichter/mathieu.htm|title=How to Make the Mathieu Group M<sub>24</sub>|accessdate=2010-04-15|archive-date=2010-01-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20100116050402/http://homepages.wmich.edu/~drichter/mathieu.htm|dead-url=no}}
{{refend}}

== 进一步阅读 ==
* {{Cite journal|title=Why is PSL (2,7)≅ GL (3,2)?|url=http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/PSL%282,7%29_GL%283,2%29.pdf|last=Brown|first=Ezra|last2=Loehr|first2=Nicholas|journal=Am. Math. Mon.|doi=10.4169/193009709X460859|year=2009|volume=116|pages=727–732|zbl=1229.20046|author=|access-date=2019-04-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20161009000204/http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/PSL%282,7%29_GL%283,2%29.pdf|archive-date=2016-10-09|dead-url=yes}}

== 外部链接 ==
* [http://www.msri.org/publications/books/Book35/ The Eightfold Way: the Beauty of Klein's Quartic Curve (Silvio Levy, ed.)]{{Wayback|url=http://www.msri.org/publications/books/Book35/ |date=20100908053118 }}
* [http://math.ucr.edu/home/baez/week214.html This Week's Finds in Mathematical Physics - Week 214 (John Baez)]{{Wayback|url=http://math.ucr.edu/home/baez/week214.html |date=20190618195003 }}
* [http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/elkies.pdf The Klein Quartic in Number Theory (Noam Elkies)]{{Wayback|url=http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/elkies.pdf |date=20080706080717 }}
* [http://groupprops.subwiki.org/wiki/Projective_special_linear_group:PSL(3,2) Projective special linear group:PSL(3,2)]{{Wayback|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Projective_special_linear_group:PSL(3,2) |date=20190428112734 }}

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