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{{NoteTA|G1=物理學
|1=zh-hans:电动机;zh-hant:馬達;
|2=zh-hans:过程控制;zh-hant:程序控制;
}}

'''PID控制器'''（比例-积分-微分[[控制器]]），由[[比例]]单元（'''P'''roportional）、[[积分]]单元（'''I'''ntegral）和[[微分]]单元（'''D'''erivative）组成<ref>[http://eprints.gla.ac.uk/3816/1/IEEE2pdf.pdf, Li, Y., Ang, K.H., and Chong, G.C.Y. (2006) '''Patents, software and hardware for PID control: an overview and analysis of the current art'''. ''IEEE Control Systems Magazine'', 26 (1). pp. 42-54. ISSN 0272-1708 (doi:10.1109/MCS.2006.1580153)]{{dead link|date=2018年5月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>。可以透過調整這三個單元的增益<math>K_p</math>，<math>K_i</math>和<math>K_d</math>來調定其特性。PID控制器主要适用于基本上线性，且动态特性不随时间变化的系统。

[[File:Pid-feedback-nct-int-correct.png|right|thumb|300px|PID控制器的方塊圖]]

PID控制器是一个在工业控制应用中常见的[[回授]]回路部件。这个控制器把收集到的数据和一个参考值进行比较，然后把这个差别用于计算新的输入值，这个新的输入值的目的是可以让系统的数据达到或者保持在参考值。PID控制器可以根据历史数据和差别的出现率来调整输入值，使系统更加准确而稳定。

PID控制器的比例单元（P）、积分单元（I）和微分单元（D）分別對應目前誤差、過去累計誤差及未來誤差。若是不知道受控系統的特性，一般認為PID控制器是最適用的控制器<ref name="ben93p48" />。藉由調整PID控制器的三個參數，可以調整控制系統，設法滿足設計需求。控制器的響應可以用控制器對誤差的反應快慢、控制器[[過衝]]的程度及系統震盪的程度來表示。不過使用PID控制器不一定保證可達到系統的[[最佳控制]]，也不保證系統穩定性。

有些應用只需要PID控制器的部份單元，可以將不需要單元的參數設為零即可。因此PID控制器可以變成PI控制器、PD控制器、[[P控制器]]或I控制器。其中又以PI控制器比較常用，因為D控制器對回授雜訊十分敏感，而若沒有I控制器的話，系統不會回到參考值，會存在一個誤差量。

== 反馈回路基础 ==
PID回路是要自动实现一个操作人员用量具和控制旋钮進行的工作，这个操作人员会用量具测系统输出的结果，然后用控制旋钮来调整这个系统的输入，直到系统的输出在量具上显示稳定的需求的结果，在旧的控制文档里，这个过程叫做“复位”行为，量具被称为“测量”，需要的结果被称为“[[設定值]]”而設定值和测量之间的差别被称为“误差”。

一个控制回路包括三个部分：

# 系统的[[传感器]]得到的测量结果
# 控制器作出决定
# 通过一个输出设备来作出反应

控制器从[[传感器]]得到测量结果，然后用需求结果减去测量结果来得到误差。然后用误差来计算出一个对系统的纠正值来作为输入结果，这样系统就可以从它的输出结果中消除误差。

在一个PID回路中，这个纠正值有三种算法，消除目前的误差，平均过去的误差，和透過误差的改变来预测将来的误差。

比如说，假如利用水箱在为植物提供水，水箱的水需要保持在一定的高度。可以用[[传感器]]来检查水箱里水的高度，这样就得到了测量结果。控制器会有一个固定的用户输入值来表示水箱需要的水面高度，假设这个值是保持65％的水量。控制器的输出设备会连在由马达控制的水阀门上。打开阀门就会给水箱注水，关上阀门就会让水箱里的水量下降。这个阀门的控制信号就是控制变量。

PID控制器可以用来控制任何可被测量及可被控制变量。比如，它可以用来控制温度、[[压强]]、流量、化学成分、速度等等。汽车上的[[巡航定速]]功能就是一个例子。

一些控制系统把数个PID控制器[[串联]]起来，或是连成网络。这样的话，一个主控制器可能会为其他控制输出结果。一个常见的例子是马达的控制。控制系統會需要马达有一个受控的速度，最後停在一个确定的位置。可由一個子控制器用来管理速度，但是这个子控制器的速度是由控制马达位置的主控制器来管理的。

连合和串联控制在化学过程控制系统中相當常见。

==歷史及應用==

[[File:Scross helmsman.jpg|thumb|PID控制理論是由觀察[[舵手]]的動作而來]]

PID控制器可以追溯到1890年代的{{link-en|调速器|Governor (device)}}設計<ref name="ben93p48">{{Cite book
| publisher = IET
| isbn = 978-0-86341-299-8
| last = Bennett
| first = Stuart
| title = A history of control engineering, 1930-1955
| year = 1993
| page = [http://books.google.com/books?id=VD_b81J3yFoC&pg=PA48 p. 48]
| ref = harv
| postscript = <!--None-->
}}</ref><ref name="bennett84">{{Cite journal
 |last=Bennett 
 |first=Stuart 
 |title=Nicholas Minorsky and the automatic steering of ships 
 |date=November 1984 
 |journal=IEEE Control Systems Magazine 
 |volume=4 
 |issue=4 
 |pages=10–15 
 |issn=0272-1708 
 |url=http://ieeexplore.ieee.org/iel5/37/24267/01104827.pdf?arnumber=1104827 
 |doi=10.1109/MCS.1984.1104827 
 |ref=harv 
 |postscript= 
 |deadurl=yes 
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110608080946/http://ieeexplore.ieee.org/iel5/37/24267/01104827.pdf?arnumber=1104827 
 |archivedate=2011-06-08 
}}</ref>。PID控制器是在船舶自动操作系統中漸漸發展。1911年{{link-en|Elmer Sperry|Elmer Sperry}}開發的控制器是最早期PID型控制器的其中之一<ref>{{cite web |url=http://www.building-automation-consultants.com/building-automation-history.html |title=A Brief Building Automation History |accessdate=2011-04-04 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110708104028/http://www.building-automation-consultants.com/building-automation-history.html |archivedate=2011-07-08 }}</ref>，而第一個發表PID控制器理論分析論文的是[[俄裔美国人|俄裔美国]]工程師{{link-en|尼古拉斯·米诺尔斯基|Nicolas Minorsky}}{{Harv|Minorsky|1922}}。米诺尔斯基當時在設計美國海軍的自动操作系統，他的設計是基於對[[舵手]]的觀察，控制船舶不只是依目前的誤差，也考慮過去的誤差以及誤差的變化趨勢<ref>{{Harv|Bennett|1993|loc = [http://books.google.com/books?id=VD_b81J3yFoC&pg=PA67 p. 67]}}</ref>，後來米诺尔斯基也用數學的方式加以推導<ref name="ben96">{{Cite journal
| publisher = IEEE
| journal = IEEE Control Systems Magazine
| volume = 16
| issue = 3
| last = Bennett
| first = Stuart
| title = A brief history of automatic control
| year = 1996
| url = http://ieeecss.org/CSM/library/1996/june1996/02-HistoryofAutoCtrl.pdf
| pages = 17-25
| author = 
| access-date = 2014-12-24
| archive-url = https://web.archive.org/web/20160809050823/http://ieeecss.org/CSM/library/1996/june1996/02-HistoryofAutoCtrl.pdf
| archive-date = 2016-08-09
| dead-url = yes
}}</ref>。他的目的是在於穩定性，而不是泛用的控制，因此大幅的簡化了問題。比例控制可以在小的擾動下有穩定性，但無法消除穩態誤差，因此加入了積分項，後來也加入了微分項。

當時在[[新墨西哥號戰艦]]上進行測試，利用控制器控制[[舵]]的[[角速度]]，利用PI控制器可以角度誤差維持在±2°以內，若加上D控制，角度誤差維持在±1/6°，比最好的舵手還要好<ref>{{Cite book
| publisher = IET
| isbn = 978-0-86341-047-5
| last = Bennett
| first = Stuart
| title = A history of control engineering, 1800-1930
|date=June 1986
| pages = [http://books.google.com/books?id=1gfKkqB_fTcC&pg=PA142 142–148]
}}</ref>。

不過因為海軍人員的抗拒，海軍那時候未使用這套系統，在1930年代也有其他人作出類似的研究。

在自動控制發展的早期，用機械設備來實現PID控制，是由[[槓桿]]、[[彈簧]]、[[阻尼]]及質量組成，多半會用壓縮氣體驅動。[[氣動力學|氣動控制器]]還一度是工業上的標準。

電子的類比控制器可以用[[電晶體]]、[[真空管]]、[[電容器]]及[[電阻器]]組成。許多複雜的電子系統中常會包括PID控制，例如[[磁碟]]的讀寫頭定位、[[電源供應器]]的電源條件、甚至是現代[[地震儀]]的運動偵測線路。現代電子控制器已大幅的被這些利用[[單晶片]]或[[FPGA]]來實現的數位控制器所取代。

現代工業使用的PID控制器多半會用[[可编程逻辑控制器|PLC]]或有安装面板的數位控制器來實現。軟體實現的好處是相對低廉，配合PID實現方式調整的靈敏度很大。在工業鍋爐、塑膠射出機械、烫金机及包裝行業中都會用到PID控制。

變化的電壓輸出可以用[[脈衝寬度調變|PWM]]來實現，也就是固定週期，依要輸出的量去調整週期中輸出高電位的時間。對於數位系統，其時間比例有可能是離散的，例如週期是二秒，高電位時間設定單位為0.1秒，表示可以分為20格，精度5%，因此存在一[[量化誤差]]，但只要時間解析度夠高，就會有不錯的效果。

== 理论 ==

PID是以它的三种纠正算法而命名。受控變數是三种算法（比例、積分、微分）相加後的結果，即為其輸出，其輸入為误差值（設定值減去测量值後的結果）或是由误差值衍生的信號。若定義<math>u(t)</math>為控制輸出，PID演算法可以用下式表示：

:<math>\mathrm{u}(t)=\mathrm{MV}(t)=K_p{e(t)} + K_{i}\int_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} + K_{d}\frac{d}{dt}e(t)</math>

其中
: <math>K_p</math>：比例增益，是調適參數
: <math>K_i</math>：積分增益，也是調適參數
: <math>K_d</math>：微分增益，也是調適參數
: <math>e</math>：誤差=設定值（SP）- 回授值（PV）
: <math>t</math>：目前時間
: <math>\tau</math>：積分變數，數值從0到目前時間<math>t</math>

用更专业的话来讲，PID控制器可以視為是[[频域]]系统的[[滤波器]]。在计算控制器最终是否会达到稳定结果时，此性質很有用。如果数值挑选不当，控制系统的输入值会反复振盪，这导致系统可能永远无法达到预设值。

PID控制器的一般[[传递函数|转移函数]]是：

:<math>H(s)=\frac{K_d s^2+K_p s+K_i}{s+C}</math>, 

其中''C''是一个取决于系统带宽的常数。

===比例控制項===
{{main|比例控制}}
[[File:PID varyingP.jpg|right|thumb|320px|不同比例增益K<sub>p</sub>下，受控變數對時間的變化（K<sub>i</sub>和K<sub>d</sub>維持定值）]]

[[比例]]控制考慮当前誤差，误差值和一个正值的常数K<sub>p</sub>（表示比例）相乘。K<sub>p</sub>只是在控制器的输出和系统的误差成比例的时候成立。比如说，一个电热器控制器是在目標溫度和實際溫度差10°C時有100%的輸出，而其目標值是25°C。那么它在15°C的时候会输出100%，在20°C的时候会输出50%，在24°C的时候输出10％，注意在误差是0的时候，控制器的输出也是0。

比例控制的輸出如下：
:<math>P_{\mathrm{out}}=K_p\,{e(t)}</math>

若比例增益大，在相同誤差量下，會有較大的輸出，但若比例增益太大，會使系統不穩定<!--(see [[#Loop tuning|the section on loop tuning]])-->。相反的，若比例增益小，若在相同誤差量下，其輸出較小，因此控制器會較不敏感的。若比例增益太小，當有干擾出現時，其控制信號可能不夠大，無法修正干擾的影響。

==== 穩態誤差 ====
比例控制在誤差為0時，其輸出也會為0。若要讓受控輸出為非零的數值，就需要產生一個穩態誤差或偏移量{{efn|唯一的例外是[[目標值]]恰好是比例增益等於0時的受控輸出。}}。

===積分控制項===
[[File:Change with Ki.png|right|thumb|320px|不同積分增益K<sub>i</sub>下，受控變數對時間的變化（K<sub>p</sub>和K<sub>d</sub>維持定值）]]

[[积分]]控制考慮过去誤差，將误差值过去一段时间和（误差和）乘以一个正值的常数K<sub>i</sub>。K<sub>i</sub>从过去的平均误差值来找到系统的输出结果和预定值的平均误差。一个简单的比例系统会震盪，会在预定值的附近来回变化，因为系统无法消除多余的纠正。通过加上负的平均误差值，平均系统误差值就会漸漸减少。所以，最终这个PID回路系统会在設定值稳定下来。

積分控制的輸出如下：

: <math>I_{\mathrm{out}}=K_{i}\int_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau}</math>

積分控制會加速系統趨近設定值的過程，並且消除純比例控制器會出現的穩態誤差。積分增益越大，趨近設定值的速度越快，不過因為積分控制會累計過去所有的誤差，可能會使回授值出現[[過衝]]的情形。
{{clear}}

===微分控制項===
[[File:Change with Kd.png|right|thumb|320px|不同微分增益K<sub>d</sub>下，受控變數對時間的變化（K<sub>p</sub>和K<sub>i</sub>維持定值）]]

[[微分]]控制考慮将来誤差，计算误差的一阶导，并和一个正值的常数K<sub>d</sub>相乘。这个导数的控制会对系统的改变作出反应。导数的结果越大，那么控制系统就对输出结果作出更快速的反应。这个K<sub>d</sub>参数也是PID被称为可预测的控制器的原因。K<sub>d</sub>参数对减少控制器短期的改变很有帮助。一些实际中的速度缓慢的系统可以不需要K<sub>d</sub>参数。

微分控制的輸出如下：
:<math>D_{\mathrm{out}}=K_d\frac{d}{dt}e(t)</math>

微分控制可以提昇[[整定時間]]及系統穩定性<ref>{{cite web |url=http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=Introduction&section=ControlPID |title=Introduction: PID Controller Design |publisher=University of Michigan |accessdate=2014-12-28 |archive-date=2012-10-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121023114739/http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=Introduction&section=ControlPID |dead-url=yes }}</ref><ref>{{cite journal |title=PID without a PhD |url=http://igor.chudov.com/manuals/Servo-Tuning/PID-without-a-PhD.pdf |publisher=EE Times-India |date=October 2000 |author=Tim Wescott |access-date=2014-12-28 |archive-date=2010-11-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20101122123630/http://igor.chudov.com/manuals/Servo-Tuning/PID-without-a-PhD.pdf |dead-url=yes }}</ref>。不過因為純微分器不是[[因果系统]]，因此在PID系統實現時，一般會為微分控制加上一個低通濾波器以限制高頻增益及雜訊<ref name="IEEE_PID_05" />。實际上較少用到微分控制，估計PID控制器中只有約20%有用到微分控制<ref name="IEEE_PID_05" />。
{{clear}}

==參數調試==
PID的參數調試是指透過調整控制參數（比例增益、積分增益/時間、微分增益/時間）讓系統達到最佳的控制效果。穩定性（不會有發散性的震盪）是首要條件，此外，不同系統有不同的行為，不同的應用其需求也不同，而且這些需求還可能會互相衝突。

PID只有三個參數，在原理上容易說明，但PID參數調試是一個困難的工作，因為要符合一些特別的準則，而且PID控制有其[[#PID控制的限制|限制]]存在。歷史上有許多不同的PID參數調試方式，包括[[齊格勒－尼科爾斯方法]]等，其中也有一些已申請[[專利]]。

PID控制器的設計及調試在概念上很直覺，但若有多個（且互相衝突）的目標（例如高穩定性及快速的暫態時間）都要達到的話，在實際上很難完成。PID控制器的參數若仔細的調試，會有很好的效果，相反的，若調適不當，效果會很差。一般初始設計常需要不斷的電腦模擬，並且修改參數，一直達到理想的性能或是可接受的妥協為止。

有些系統有非線性的特性，若在無載下調試的參數可能無法在滿載下動作，可以利用[[增益規劃]]的方式進行修正（在不同的條件下選用不同的數值）。

=== 穩定性 ===
若PID控制器的參數未挑選妥當，其控制器輸出可能是不穩定的，也就是其輸出發散，過程中可能有震盪，也可能沒有震盪，且其輸出只受飽和或是機械損壞等原因所限制。不穩定一般是因為過大增益造成，特別是針對延遲時間很長的系統。

一般而言，PID控制器會要求響應的穩定，不論程序條件及設定值如何組合，都不能出現大幅振盪的情形，不過有時可以接受[[臨界穩定]]的情形{{Citation needed|date=March 2011}}。

===最佳性能===
PID控制器的最佳性能可能和針對過程變化或是設定值變化有關，也會隨應用而不同。

兩個基本的需求是調整能力（regulation，干擾拒絕，使系統維持在設定值）及命令追隨 （設定值變化下，控制器輸出追隨設定值的反應速度）。有關命令追隨的一些準則包括有[[上昇時間]]及[[整定時間]]。有些應用可能因為安全考量，不允許輸出超過設定值，也有些應用要求在到達設定值過程中的能量可以最小化。

===各方法的簡介===
有許多種調試PID控制器參數的方法，最有效的方式多半是建立某種程序，再依不同參數下的動態特性來調試參數。相對而言人工調試其效率較差，若是系統的響應時間到數分鐘以上，更可以看出人工調試效率的不佳{{Citation needed|date=May 2013}}。

調試方法的選擇和是否可以暫時將控制迴路「離線」有關，也和系統的響應時間有關。離線是指一個和實際使用有些不同的條件（例如不加負載），而且控制器的輸出只需考慮理論情況，不需考慮實際應用。在線調試是在實際應用的條件，控制器的輸出需考慮實際的系統
。若控制迴路可以離線，最好的調試方法是對系統給一個步階輸入，量測其輸出對時間的關係，再用其響應來決定參數{{Citation needed|date=May 2013}}。

{| class="wikitable"
|+ 選擇調試方式
! 方法
! 優點
! 缺點
|- style="text-align:center;"
! 人工調試
| 不需要數學，可以在線調試
| 需要有經驗的工程師{{Citation needed|date=May 2013}}
|- style="text-align:center;"
! 齊格勒－尼科爾斯方法
| 被證實有效的方法，可以在線調試
| 會影響製程，需要試誤，得到的參數可能使響應太快{{Citation needed|date=May 2013}}
|- style="text-align:center;"
! 軟體工具
| 調適的一致性，可以在線調試或離線調試，可以配合[[计算机自动设计]]，包括閥及感測器的分析，可以在下載前進行模擬，可以支援非穩態（NSS）的調試
| 需要成本或是訓練<ref>Li, Y., et al. (2004) CAutoCSD - Evolutionary search and optimisation enabled computer automated control system design, Int J Automation and Computing, vol. 1, No. 1, pp. 76-88. ISSN 1751-8520. http://userweb.eng.gla.ac.uk/yun.li/ga_demo/ {{Wayback|url=http://userweb.eng.gla.ac.uk/yun.li/ga_demo/ |date=20160507233728 }}</ref>
|- style="text-align:center;"
! Cohen–Coon
| 好的程序模型
| 需要一些數學，需離線調試，只對一階系統有良好效果{{Citation needed|date=May 2013}}
|}

===人工調整===
若需在系統仍有負載的情形進行調試（線上調試），有一種作法是先將<math>K_i</math>及<math>K_d</math>設為零，增加<math>K_p</math>一直到迴路輸出震盪為止，之後再將<math>K_p</math>設定為「1/4振幅衰減」（使系統第二次過衝量是第一次的1/4）增益的一半，然後增加<math>K_i</math>直到一定時間後的穩態誤差可被修正為止。不過若<math>K_i</math>可能會造成不穩定，最後若有需要，可以增加<math>K_d</math>，並確認在負載變動後迴路可以夠快的回到其設定值，不過若<math>K_d</math>太大會造成響應太快及過衝。一般而言快速反應的PID應該會有輕微的過衝，只是有些系統不允許過衝。因此需要將回授系統調整為[[阻尼#阻尼|過阻尼系統]]，而<math>K_p</math>比造成震盪<math>K_p</math>的一半還要小很多。
[[File:PID Compensation Animated.gif|right|thumb|400px|調整PID參數對其步階響應的影響]]
調整PID參數對系統的影響如下
{| class="wikitable"
|-
! 調整方式 !! (on)  上升时间 !! 超调量!! 安定时间 !! 稳态误差 !! 稳定性<ref name="IEEE_PID_05">Ang, K.H., Chong, G.C.Y., and Li, Y. (2005). PID control system analysis, design, and technology, ''IEEE Trans Control Systems Tech'', 13(4), pp.559-576. http://eprints.gla.ac.uk/3817/1/IEEE3.pdf {{Wayback|url=http://eprints.gla.ac.uk/3817/1/IEEE3.pdf |date=20131213200556 }}</ref>
|-
| ↑ K<sub>p</sub> || 減少 ↓ || 增加 ↑ || 小幅增加 ↗ || 減少 ↓ || 變差 ↓
|-
| ↑ K<sub>i</sub> || 小幅減少 ↘ || 增加↑ || 增加 ↑ || 大幅減少↓↓ ||變差↓
|-
| ↑ K<sub>d</sub> || 小幅減少 ↘ || 減少↓ ||減少↓ || 變動不大→ || 變好 ↑
|}

===齊格勒－尼科爾斯方法===
{{details|齊格勒－尼科爾斯方法}}

[[齊格勒－尼科爾斯方法]]是另一種啟發式的調試方式，由John G. Ziegler和Nathaniel B. Nichols在1940年代導入，一開始也是將<math>K_i</math>及<math>K_d</math>設定為零，增加比例增益直到系統開始等振幅振盪為止，當時的增益稱為<math>K_u</math>，而振盪週期為<math>P_u</math>，即可用以下的方式計算增益：

{| class="wikitable"
|+ 齊格勒－尼科爾斯方法
|-
! 控制器種類
! <math>K_p</math>
! <math>K_i</math>
! <math>K_d</math>
|- style="text-align:right;"
! ''P''
| <math>0.50{K_u}</math>
| -
| -
|- style="text-align:right;"
! ''PI''
| <math>0.45{K_u}</math>
| <math>1.2{K_p}/P_u</math>
| -
|- style="text-align:right;"
! ''PID''
| <math>0.60{K_u}</math>
| <math>2{K_p}/P_u</math>
| <math>{K_p}{P_u}/8</math>
|}
<!--
These gains apply to the ideal, parallel form of the PID controller. When applied to the standard PID form, the integral and derivative time parameters <math>T_i</math> and <math>T_d</math> are only dependent on the oscillation period <math>P_u</math>. Please see the section "[[#Alternative nomenclature and PID forms|Alternative nomenclature and PID forms]]".-->

===PID調試軟體===

大部份現代的工業設備不再用上述人工計算的方式調試，而是用PID調試及最佳化軟體來達到一致的效果。軟體會收集資料，建立模型，並提供最佳的調試結果，有些軟體甚至可以用參考命令的變化來進行調試。

數學的PID調試會將脈衝加入系統，再用受控系統的頻率響應來設計PID的參數。若是響應時間要數分鐘的系統，建議用數學PID調試，因為用試誤法可能要花上幾天才能找到可讓系統穩定的參數。最佳解不太容易找到，有些數位的迴路控制器有自我調試的程序，利用微小的參考命令來計算最佳的調試值。

也有其他調試的公式，是依不同的性能準則所產生。許多有專利的公式已嵌入在PID調試軟體及硬體模組中<ref>Y Li, KH Ang, GCY Chong, Patents, software, and hardware for PID control: An overview and analysis of the current art, Control Systems, IEEE, 26 (1), 42-54. http://eprints.gla.ac.uk/3816/1/IEEE2pdf.pdf {{Wayback|url=http://eprints.gla.ac.uk/3816/1/IEEE2pdf.pdf |date=20130228143859 }}</ref>。

一些先進的PID調試軟體也可以在動態的情況下用演算法調整PID迴路，這類軟體會先將程序建模，給微擾量，再根據響應計算參數。

==PID控制的限制==
PID控制可以應用在許多控制問題，多半在大略調整參數後就有不錯的效果，不過有些應用下可能反而會有差的效果，而且一般無法提供[[最佳控制]]。PID控制的主要問題是在於其為回授控制，係數為定值，不知道受控系統的資訊，因此其整体性能常常是妥協下的結果。在沒有受控系統模型的條件下，PID控制最佳的控制器<ref name="ben93p48" />，但若配合系統模型，可以有進一步的提昇。

當PID控制器單獨使用時，若因應用需求，需調整PID迴路增益使控制系統不會[[過衝]]，其效果有可能很差。PID控制器的缺點還包括無法處理受控系統的非線性、需在反應時間及调整率之間妥協、無法針對參數的變動而反應（例如系統在暖機後特性會改變）、以及大擾動下的波形落後。

PID控制器最顯著的提昇是配合[[前饋控制]]，加入有關系統的資訊，只用PID控制器來控制誤差。另外，PID控制器也有一些小幅的改善方式，例如調整參數（[[增益規劃]]或是依性能進行適應性的調整）、提昇性能（提高取樣率、精度及準度，若有需要加入低波濾波器），或是用多個串接的PID控制器。

=== 線性 ===
PID控制器常見的問題是在於其線性且對稱的特性，若應用在一些非線性的系統，其效果可能會有變化。以[[暖通空調]]中常見的溫度控制，可能是採用主動加熱（用加熱器加熱），但冷卻是使用被動冷卻（不加熱，自然冷卻），其冷卻速度比加熱速度慢很多，輸出若有過衝，下降速度很慢，因此PID控制需調整為不會過衝的過阻尼，以減少或避免過衝，但這也延長了整定時間，使性能變差。

=== 雜訊對微分器的影響 ===
微分器的問題在於對量測或程序產生的高頻[[雜訊]]會有放大效果，因此會對輸出造成大幅的變動。因此真實的控制器不會有理想的微分器，只有一個有限頻寬的微分器或[[高通濾波器]]。一般為了移除高頻的雜訊，會在量測時加入[[低通濾波器]]，若低通濾波器和微分器對消，濾波效果也就受限了，因此低雜訊的量測設備相當重要。實務上可以使用[[中值滤波器]]，調昇濾波效率及實際上的性能<ref>{{Cite web |url=http://eprints.gla.ac.uk/3815/1/IEEE_CS_PID_01580152.pdf |title=Li, Y. and Ang, K.H. and Chong, G.C.Y. (2006) PID control system analysis and design - Problems, remedies, and future directions. IEEE Control Systems Magazine, 26 (1). pp. 32-41. ISSN 0272-1708 |accessdate=2014-02-02 |archive-date=2014-03-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140327012720/http://eprints.gla.ac.uk/3815/1/IEEE_CS_PID_01580152.pdf |dead-url=no }}</ref>。有時可以將微分器關閉，對控制性能的影響不大，此時稱為PI控制器。

==PID演算法的修改==
基本的PID演算法在一些控制應用的條件下有些不足，需進行小幅的修改。

===積分飽和===
<!--{{details|Integral windup}}
-->
[[積分飽和]]是理想PID演算法實現時常見的問題。若設定值有大的變動，其積分量會有大幅的變化，大到輸出值被上下限限制而飽和，因此系統會有[[過衝]]，而且即使誤差量符號改變，積分量變小，但輸出值仍被上下限限制，維持在上限（或下限），因此輸出看似沒有變化，系統仍會持續的過衝，一直要到輸出值落在上下限的範圍內，系統的回授量才會開始下降。此問題可以用以下方式處理：

* 在[[程序變數]]離開可控制範圍時，暫停積分。
* 讓積分值限制在一個較小的上下範圍內。
* 重新計算積分項，使控制器輸出維持上下限之間的範圍內<ref>{{cite web|last=Cooper|first=Douglas|title=Integral (Reset) Windup, Jacketing Logic and the Velocity PI Form|url=http://www.controlguru.com/2008/021008.html|accessdate=2014-02-18|archive-date=2013-06-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20130629161827/http://www.controlguru.com/2008/021008.html|dead-url=yes}}</ref>。

===PI控制器===
[[File:PI controller.svg|thumb|300x300px|PI控制器的方塊圖]]<!--redirects link here-->

PI控制器（比例-積分控制器）是不用微分單元的PID控制器。

控制器的輸出為
:<math>K_P \Delta + K_I \int \Delta\,dt</math>
其中<math>\Delta</math>為設定值SP和量測值PV的誤差：
:<math>\Delta = SP - PV</math>.

PI控制器可以用[[Simulink]]或[[Xcos]]之類的軟體進行建模，方式是使用「flow chart」圖框，其中用以下的拉氏運算子：
:<math>C=\frac{G(1+\tau s)}{\tau s}</math>
其中
:<math>G = K_P</math> = 比例增益
:<math>G/\tau = K_I</math> = 積分增益

<math>G</math>值的選擇需在減少過衝以及增加安定時間之間取捨。

微分單元對輸入中的高頻信號格外敏感，PI控制器因為沒有微分單元，在訊號雜訊大時，在穩態時會更加穩定。但對狀態快速變化的反應較慢，因此相較於調適到最佳值的PID控制器，PI控制器會較慢到達設定值，受干擾後也比較慢恢復到正常值。

[[PDF控制]]（pseudo-derivative feedback control）可以視為是PI控制器的變體，比例控制器的輸入由誤差值改為回授值<ref>{{Cite web |url=http://www.drivetechinc.com/articles/PM95PDFforPDF.pdf |title=PID and PDFF Compensators for Motion Control |access-date=2016-10-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120901010233/http://www.drivetechinc.com/articles/PM95PDFforPDF.pdf |archive-date=2012-09-01 |dead-url=yes }}</ref>。

===不動作區===
許多PID迴路是控制機械元件（例如閥）。機械保養是一筆可觀的費用，磨損會使得機械在有輸入信號時出現靜摩擦或是[[不動作區]]，都會導致控制性能的下降。機械損耗的速度主要和設備多常改變其狀態有關。若磨損是主要考量的話，PID迴路可以有輸出的[[遲滯現象]]以減少輸出狀態的改變。若變化小，仍在不動作區內，讓控制器的輸出維持上一次的值。變化要大到超過不動作區，實際的狀態才會隨之變化。

===設定值的步階變化===
若系統的設定值有步階變化，比例單元和微分單元也會有對應的變化，特別是微分單元對於步階變化的輸出特別的大，因此有些PID演算法會配合以下的修改來處理設定值的變化。

;設定值斜坡變化
:此修改方式下，設定值會用線性或是一階濾波的方式，由原始值變到新的值，避免因為步階變化產生的[[不連續]]。

;只對[[程序變數]]（回授量）微分
:此修改下，PID控制器只針對量測的程序變數（PV）微分，不對誤差微分。程序變數是實際的物理量，較不易有瞬間的變化，而誤差可能因為設定值的步階變化而有瞬間變化。這也是一種簡單的設定值加權法。

;設定值加權
:設定值加權分別調整在比例單元及微分單元中的誤差量，誤差量的設定值乘以一個0到1之間的加權，積分單元的誤差量需使用真實的設定值，以避免[[穩態誤差]]。這兩個參數不影響對負載變化及量測雜訊的響應，可以提昇對設定點變化的響應。

=== 前饋控制 ===
PID控制器若再配合[[前饋控制]]（[[開迴路控制器|開迴路控制]]），可以再提昇其控制性能。在前饋控制中考慮系統的已知資訊（例如理想加速度或是慣量），再將輸出加到PID控制器的控制輸出，以提昇整體的系統性能。前饋量可能是控制輸出主要的部份，而PID控制器只用來補償目標值和開迴路控制器輸出之間的誤差。因為前饋輸出不會受到回授的影響，因此也不會造成系統的振盪，可以在不影響穩定性的條件下提昇系統的響應。前饋可以依目標值及其他量測到的干擾量來產生，目標值加權是一種簡單的前饋控制方式。

例如，在大部份的運動控制系統中，為了要使機械負載加速，致動器要產生更大的力。若用速度環的PID控制器來控制負載速度，比較理想的方式是先得到理想的瞬間加速度值，適量調整加權後再加到PID的輸出中。因此控制器輸出中有一部份是不隨機械速度而改變的輸出，再用PID根據實際輸出和目標的差異去增加或是減少輸出。這類有前饋控制的PID控制器可以加快控制系統的反應速度。

=== 無衝擊運轉 ===
有時PID控制器會規劃為無衝擊（bumpless）的特性，在參數變化時重新計算適當的積分累計值，使輸出不會因參數變化有不連續的改變<ref>{{cite web|last=Cooper|first=Douglas|title=PI Control of the Heat Exchanger|url=http://www.controlguru.com/wp/p71.html|work=Practical Process Control by Control Guru|accessdate=2014-02-27|archive-date=2014-02-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20140228115125/http://www.controlguru.com/wp/p71.html|dead-url=no}}</ref>。

==串級PID控制器==
二個PID控制器可以組合在一起，得到較佳的效果，這稱為串級PID控制。以兩個PID控制器組成的串級PID控制為例，其中一個PID控制器在外迴路，控制像液面高度或是速度等主要的物理量，另一個PID控制器是內迴路，以外迴路PID控制器的輸出做為其目標值，一般是控制較快速變化的參數，例如流量或加速度等。若利用串級PID控制，可以增加控制器的工作頻率，並降低其時間常數。

例如一個溫控的循環水浴設備有二個串級的PID控制器，分別有各自的熱電偶溫度感測器。外迴路的控制器控制水溫，其感測器距加熱器很遠，直接量測整體水溫，其誤差量是理想水溫及整體水溫的差值。外迴路PID控制器的输出即為內迴路控制器的目標值，內迴路控制器控制加熱器，其感測器是在加熱器上，其誤差量是加熱器的理想溫度及量測到溫度的差值，其輸出會使加熱器維持在設定值附近。

內外迴路控制器的參數可能會差很多，外迴路的PID控制器有較長的時間常數，對應所有的水加熱或是冷卻需要的時間。內迴路的PID控制器反應會比較快。每個控制器可以調整到符合其真正控制的系統，例如水槽中所有的水，或是加熱器本身。

== 其他PID的形式及其表示法 ==
=== 理想的PID及標準形PID===
工業上常看到PID控制器，而許多工業相關資料中看到的都是「標準形」的PID，其中比例增益<math>K_p</math>也作用在<math>I_{\mathrm{out}}</math>及<math>D_{\mathrm{out}}</math>兩項，和上述「理論」段落看到的形式不同。「標準形」的PID為：

:<math>\mathrm{MV(t)}=K_p\left(\,{e(t)} + \frac{1}{T_i}\int_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} + T_d\frac{d}{dt}e(t)\right)</math>
其中
:<math>T_i</math>為積分時間。
:<math>T_d</math>為微分時間。

在標準形中，每一個參數有其明確的物理意義，輸出是根據現在誤差、過去誤差及未來誤差而決定，加上微分項可以預測若控制系統不改變的話，<math>T_d</math>時間後的誤差，而積分項是用過去所有誤差的和來調整輸出，希望在<math>T_i</math>時間後可以完全消除誤差，而輸出的值會再乘以單一的增益<math>K_p</math>。

在理想的平行式PID中，其方程如下：
:<math>\mathrm{MV(t)}=K_p{e(t)} + K_i\int_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} + K_d\frac{d}{dt}e(t)</math>

其中的增益和標準形PID係數的關係是：<math>K_i = \frac{K_p}{T_i}</math>及<math> K_d = K_p T_d \,</math>。平行式PID中的參數都視為單純的增益，最泛用，靈活性也最高，但較沒有物理意義，因此只用在PID的理論處理中，標準形PID雖在數學上比較複雜，在工業中較常使用。

=== 倒數增益 ===
許多情形下，PID控制器處理的變數是無因次的量，是某個最大值的比例，介於0到100%之間，而轉換為實際物理量（如泵浦速率或是水加熱的功率）是在PID控制器外，而這些控制變數是有因次的物理量（例如溫度）。此時<math>K_p</math>增益多半不會表示為「每變化一度的輸出」，而會以溫度的形式<math>1/K_p</math>表示，代表「100%輸出下的溫度（變化）」，代表輸出由0變到1（0%變為100%）下的溫度變化。

=== 只針對過程變數進行微分控制 ===
在大部份的商業控制系統中，是用過程變數取代誤差作為微分項的輸入，其原因是當目標值有不連續變化時，微分控制會產生很大的突波，若目標值不變，改變過程變數的效果和改變誤差相同，因此有些PID控制器會用過程變數作為微分項的輸入，不會影響控制器控制過程變數，抗雜訊的能力。

:<math>\mathrm{MV(t)}=K_p\left(\,{e(t)} + \frac{1}{T_i}\int_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} - T_d\frac{d}{dt}PV(t)\right)</math>

=== 只針對過程變數進行微分及比例控制 ===
大部份的商業控制系統也提供選擇，讓過程變數作為微分控制及比例控制的輸入，因此誤差只作為積分控制的輸入，這也不會影響控制器控制過程變數，抗雜訊的能力。

上述的修改可以避免目標值有不連續變化時，輸出值有對應不連續的變化，若目標值有步階變化，這項調整就相當重要。

:<math>\mathrm{MV(t)}=K_p\left(\,{-PV(t)} + \frac{1}{T_i}\int_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} - T_d\frac{d}{dt}PV(t)\right)</math>
<!--
King<ref>King, Myke. ''Process Control: A Practical Approach''. Wiley, 2010, p. 52-78</ref>描述了一個很有效的圖表法 describes an effective chart-based method.
-->

也有些雙自由度（2-DoF）PID控制架構除了一般的PID控制外，再加上只針對過程變數進行的微分及比例控制，再分別用增益進行調整，目標是同時對目標步階響應以及雜訊抑制都有良好的性能<ref>{{Cite web |url=http://ijcas.com/admin/paper/files/401-411.pdf |title=Two-Degree-of-Freedom PID Controllers Mituhiko Araki and Hidefumi Taguchi |accessdate=2016-09-29 |archive-date=2016-09-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160910044621/http://ijcas.com/admin/paper/files/401-411.pdf |dead-url=no }}</ref>。

=== PID控制器的拉氏轉換 ===
有關會將PID控制器進行[[拉氏轉換]]：
:<math>G(s)=K_p + \frac{K_i}{s} + K_d{s}=\frac{K_d{s^2} + K_p{s} + K_i}{s}</math>

PID控制器的拉氏轉換也代表著控制器的[[傳遞函數]]，因此可以確認整體系統的傳遞函數。

=== PID的極零點對消===
PID控制器可以寫成以下的形式
:<math>G(s)=K_d \frac{s^2 + \frac{K_p}{K_d}s + \frac{K_i}{K_d}}{s}</math>
若受控設備的傳遞函數如下：
:<math>H(s)=\frac{1}{s^2 + 2\zeta \omega_0 s + \omega_0^2}</math>

又令
:<math>\frac{K_i}{K_d}=\omega_0^2</math>
:<math>\frac{K_p}{K_d}=2\zeta \omega_0</math>
則
:<math>G(s) H(s)=\frac{K_d}{s}</math>

因此若受控設備有不穩定的極點，看似可以用此方式消除，不過實際上有些差異，由干擾到輸出的閉迴路傳遞函數中仍有不穩定的極點，因此仍可能會發散。

=== 串級型或交互型 ===
另一種PID控制器的表示法為串級型（series）或稱為交互型（interacting）
:<math>G(s) = K_c \frac{(\tau_i{s}+1)}{\tau_i{s}} (\tau_d{s}+1)</math>
其中參數和標準型的參數有以下的關係
:<math>K_p = K_c \cdot \alpha</math>, <math>T_i = \tau_i \cdot \alpha</math>
:<math>T_d = \frac{\tau_d}{\alpha}</math>
而
:<math>\alpha = 1 + \frac{\tau_d}{\tau_i}</math>.

上述作法可表示為二個串級的PD控制器及PI控制器，在早期類比電路的時代較容易實現，雖然控制器已經數位化，不過仍有些維持此形式。

=== 離散化的控制器 ===
若要在[[微處理機]]（MCU）或是[[FPGA]]中實現PID控制或是分析其性能，就需要將控制器[[離散化]]<ref>{{cite web |url=http://www.scribd.com/doc/19070283/Discrete-PI-and-PID-Controller-Design-and-Analysis-for-Digital-Implementation |title=Discrete PI and PID Controller Design and Analysis for Digital Implementation |publisher=Scribd.com |accessdate=2011-04-04 |archive-date=2012-01-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120111163212/http://www.scribd.com/doc/19070283/Discrete-PI-and-PID-Controller-Design-and-Analysis-for-Digital-Implementation |dead-url=no }}</ref>。一階微分可以用後向[[有限差分]]表示，積分項也離散化，若取樣時間為<math>\Delta t</math>，積分項可以用下式近似

:<math>\int_{0}^{t_k}{e(\tau)}\,{d\tau} = \sum_{i=1}^k e(t_i)\Delta t </math>

微分項可近似為

:<math>\dfrac{de(t_k)}{dt}=\dfrac{e(t_k)-e(t_{k-1})}{\Delta t}</math>

因此PID控制器的離散化可以將<math>u(t)</math>微分，再用一階導數及二階導數的定義求得<math>u(t_k)</math>，可以得到

:<math>u(t_k)=u(t_{k-1})+K_p\left[\left(1+\dfrac{\Delta t}{T_i}+\dfrac{T_d}{\Delta t}\right)e(t_k)+\left(-1-\dfrac{2T_d}{\Delta t}\right)e(t_{k-1})+\dfrac{T_d}{\Delta t}e(t_{k-2})\right]</math>

其中<math> T_i = K_p/K_i, T_d = K_d/K_p</math>


== 伪代码 ==
以下是一段實現PID演算法的伪代码：<ref name="codeproject">{{cite web|title=PID process control, a "Cruise Control" example|url=http://www.codeproject.com/Articles/36459/PID-process-control-a-Cruise-Control-example|publisher=CodeProject|accessdate=4 November 2012|year=2009|archive-date=2014-12-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20141224170122/http://www.codeproject.com/Articles/36459/PID-process-control-a-Cruise-Control-example|dead-url=no}}</ref> 
 previous_error = 0
 integral = 0 
 start:
   error = setpoint - measured_value
   integral = integral + error*dt
   derivative = (error - previous_error)/dt
   output = Kp*error + Ki*integral + Kd*derivative
   previous_error = error
   wait(dt)
   goto start
此例中有兩個變數在[[迴圈]]前需[[初始化]]為0，然後開始迴圈。目前的誤差（error）是用目前目標值（setpoint）減去系统反馈值（measured_value）而得，然後再進行[[積分]]和[[微分]]運算，比例項、積分項及微分項乘以各自參數後得到輸出（output）。在實際系統中，這會透過[[數位類比轉換器]]轉換為類比訊號，作為受控系統的控制量。目前的誤差量及積分會儲存，以便下次計算微分及積分時使用，程式會等待dt秒後開始，迴圈繼續進行，透過[[類比數位轉換器]]讀取新的系统反馈值及目標值，再計算誤差量及輸出<ref name="codeproject"/>。

== 参见 ==
* [[控制理论]]
* [[反馈]]
* [[不穩定]]
* [[振荡]]

== 注释 ==
{{notelist|iger=}}

==参考文献==
{{Reflist}}
* {{Cite journal | last = Minorsky | first = Nicolas | title = Directional stability of automatically steered bodies | journal = J. Amer. Soc. Naval Eng. | year = 1922 | volume = 34 | pages = 280–309 | issue = 2 | ref = harv | postscript = <!--None--> | doi = 10.1111/j.1559-3584.1922.tb04958.x }}

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20160507233728/http://userweb.eng.gla.ac.uk/yun.li/ga_demo/ 改善PID微分和积分的方法及其它控制系统的计算机自动设计CAutoD]
* [http://www.bin95.com/PID_Process_Control_Saint-Louis.htm 学习PID和其他系统调试是如何工作的]{{Wayback|url=http://www.bin95.com/PID_Process_Control_Saint-Louis.htm |date=20060418002540 }}
* [http://www.pidlab.com PID控制器实验室，PID调试的Java applets]{{Wayback|url=http://www.pidlab.com/ |date=20100804233607 }}
* [https://web.archive.org/web/20060327160331/http://ae.tut.fi/~juke/java/pidtuning/ 一系列的PID调试的Java Applets]
* [https://web.archive.org/web/20050206113949/http://www.tcnj.edu/~rgraham/PID-tuning.html PID调试的问答]
* [https://web.archive.org/web/20060417151518/http://www.jashaw.com/pid/ PID控制系统算法的信息和教程]
* [https://web.archive.org/web/20060413081016/http://www.htservices.com/Applications/Process/PID2.htm 用Excel模拟基本的PID]
* [https://web.archive.org/web/20060417114838/http://asl.epfl.ch/research/projects/VtolIndoorFlying/rapports/rapportSemStauffer.pdf 如果用电子部件制作一个PID控制器]查看22页
* [http://www.expertune.com/r2.asp?f=Wikipedia&l=articles.html 关于PID控制器的文章，教材]{{Dead link}}
* [https://web.archive.org/web/20060417135557/http://www.industrial-electricity.com/open-and-closed-loop-feedback-systems-2-Parts-Typical-Control-System.html 一个控制系统的一部分]
* [http://4rdp.blogspot.com/2008/05/pid-speed-control.html PID定速控制應用]{{Wayback|url=http://4rdp.blogspot.com/2008/05/pid-speed-control.html |date=20111112044727 }}
* [http://4rdp.blogspot.com/2008/12/apply-pid-to-control-lego-nxts-speed.html PID馬達定速與定角控制公式比較]{{Wayback|url=http://4rdp.blogspot.com/2008/12/apply-pid-to-control-lego-nxts-speed.html |date=20120809002746 }}
* [http://eprints.gla.ac.uk/3817/1/IEEE3.pdf Ang, K.H., Chong, G.C.Y., and Li, Y. (2005)， '''PID control system analysis, design, and technology'''. ''IEEE Transactions on Control Systems Technology'', 13 (4). pp. 559-576. ISSN 1063-6536]{{Wayback|url=http://eprints.gla.ac.uk/3817/1/IEEE3.pdf |date=20131213200556 }}
* [http://www.ni.com/product-documentation/2923/en/ Understanding Servo Tune(其中包括PID調整方法範例) ]{{Wayback|url=http://www.ni.com/product-documentation/2923/en/ |date=20150123063127 }}
* [http://labview360.com/article/info.asp?TID=10149&FID=165 LabView360技術文章 PID]{{Wayback|url=http://labview360.com/article/info.asp?TID=10149&FID=165 |date=20151222142820 }}
{{-}}
{{自動控制}}

[[Category:控制理论]]
[[Category:控制工程]]
[[Category:控制器]]
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[[de:Regler#PID-Regler]]