查看“︁P-群”︁的源代码

{{lowercase|p-群}}
在[[數學]]中的[[群論]]中，給定一[[質數]] <math>p</math> ，'''<math>p</math>-群'''（{{lang-en|p-group}}）是每個元素的[[階_(群論)|階]]都是 <math>p</math> 的[[冪|次方]]的一個群 <math>G</math> ；換言之，對每個 <math>G</math> 中的 <math>g</math> ，存在一個[[正整數]] <math>n</math> 使得 <math>g</math> 的 <math>p^n</math> [[冪|次方]]等於[[單位元素]]， <math>g^{(p^n)} = e</math> 而對小於 <math>p^n</math> 的其他正整數 <math>m</math> 則有 <math>g^m \neq e</math>。

若 <math>G</math> 有限，則上述定義等價於 <math>G</math> 的[[階 (群論)|階]]為 <math>p</math> 的次方。有限 <math>p</math>-群的結構已被深入研究，其中一個使用[[類方程]]的標準結論為一個非平凡有限 <math>p</math>-群的[[中心 (群論)|中心]]不可能為一個平凡子群。一個 <math>p^n</math> 階的 <math>p</math>-群會包含著 <math>p^i</math> 階的子群，其中 <math>0 \leq i \leq n</math> 。更一般性地，每一個有限 <math>p</math>-群都會是[[冪零群]]，因而都是[[可解群]]。

有相同階的''p''-群不一定會互相[[同構]]；例如，[[循環群]]''C''<sub>4</sub>和[[克萊因四元群]]都是4階的2-群，但兩者並不同構。一個''p''-群不一定要是[[阿貝爾群]]；如8階的[[二面體群]]即為一個非可換2-群。（但每個''p''<sup>2</sup>階的群都會是可換的。）

以趨進的觀點來看，幾乎所有的有限群都會是''p''-群。實際上，幾乎所有的有限群都是2-群：2-群的[[同構類]]與其階至多為''n''之群的同構類的比例在當''n''趨進於無限大時會趨進於1。例如，其階至多為2000的所有不同的群會有99%為1024階的2-群。<ref>Besche, Hans Ulrich, Bettina Eick and Eamonn O'Brien. (2001) [http://www.tu-bs.de:8080/~hubesche/small.html 小群圖書館] {{Wayback|url=http://www.tu-bs.de:8080/~hubesche/small.html |date=20070930191905 }}</ref>

每一個非當然有限群都會包括一個為非當然''p''-群之子群。詳述請見[[西洛定理]]。

無限群的例子，見[[普呂弗群]]。

== 性質 ==
<math>p</math>-群中，所有元素的階都是有限的，因此<math>p</math>-群是[[撓群|週期群]]

== 另見 ==
* [[冪零群]]
* [[西洛子群]]
* [[普呂弗秩]]
* [[超特別群]]

== 參考 ==

<references />

{{ModernAlgebra}}

[[Category:群論]]