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{{noteTA
|zh-hant:{{mvar|p}}進數分析
}}

'''{{mvar|p}}进数分析'''是研究[[变量]]为[[p进数|{{mvar|p}}进数]]的[[函数]]之[[数学分析|分析]]性质的数学分支，属于[[数论]]研究中的领域。

==简介==
{{mvar|p}}进[[数域]]是[[有理数|有理数域]]装备了与[[欧几里德几何|欧几里德]][[范数]]不同的{{mvar|p}}进范数後进行[[拓扑学|拓扑]][[完备空间|完备化]]得到的完备数域，一般记作<math>\mathbb{Q}_p</math>。同样是有理数域的完备化，<math>\mathbb{Q}_p</math>与[[实数]]域<math>\mathbb{R}</math>有许多差异之处。然而，同样可以对自变量取自<math>\mathbb{Q}_p</math>中或值域在<math>\mathbb{Q}_p</math>中的函数定义极限、微分、积分等概念，从而建立类似于[[实分析]]的分析学。定义在<math>\mathbb{Q}_p</math>上的复值函数是[[局部紧群]]理论的研究对象。而通常意义上的{{mvar|p}}进分析也指研究取值在<math>\mathbb{Q}_p</math>上的函数之分析性质的理论。

{{mvar|p}}进数分析主要应用在数论中。在[[丢番图几何]]与[[丢番图逼近]]理论中，{{mvar|p}}进数分析有重要作用。有些应用甚至涉及到基于{{mvar|p}}进数的泛函分析和谱理论。在某种意义上，{{mvar|p}}进数分析较传统的实分析或复分析更为“简单”。这是因为{{mvar|p}}进数域的拓扑对应的是[[超度量空间|超度量]]而不是阿基米德度量。超度量对应的“三角不等式”相较阿基米德度量的三角不等式更强，因此能够导出更强的结论。例如在[[级数]]论中，{{mvar|p}}进数项构成的无穷级数的收敛条件比实数项或复数项无穷级数的更简单。基于同样的原因，{{mvar|p}}进数域上的[[拓扑向量空间]]与实数域或复数域上的拓扑向量空间不同。例如前者中与[[凸函数|凸性]]相关的性质以及[[哈恩－巴拿赫定理]]都不同于後者中的对应性质与定理。

==数列与级数==
<math>\mathbb{Q}_p</math>上的拓扑建立在{{mvar|p}}进范数<math>| \cdot |_p</math>上。<math>| \cdot |_p</math>是一个[[超度量]]（也称为非阿基米德度量）的范数。它不仅满足[[三角不等式]]，而且满足更强的关系：
:<math>| x + y |_p \leqslant \max \{| x|_p , | y |_p\}.</math>
因此，在<math>\mathbb{Q}_p</math>中，[[数列]]和[[无穷级数]]的收敛条件较实数更为宽松。一个数列<math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>是[[柯西数列]]当且仅当{{math|''x''<sub>''n''+1</sub> - ''x''<sub>''n''</sub>}}趋于0。因此数列有极限等价于其相邻项之差趋于0{{r|fqg|page=88}}。无穷级数<math>\sum_{n\in\mathbb{N}} a_n</math>的相邻两个部分和的差就是级数的通项{{mvar|''a''<sub>''n''</sub>}}，所以无穷级数收敛当且仅当其通项趋于0{{r|fqg|page=89}}。

==<math id="Z_p">\mathbb{Z}_p</math>上的函数==
<math>\mathbb{Z}_p</math>表示所有{{mvar|p}}进[[整数]]，即在{{mvar|p}}进[[范数]]小于等于1的{{mvar|p}}进数的集合。由于<math>\mathbb{Q}_p</math>是[[连通空间|完全不连通的空间]]，不具有与实数中“区间”对应的研究对象，因此较常作为研究基础的是其中的球{{r|fqg|page=92}}。<math>\mathbb{Z}_p</math>是一个[[紧集|紧致]]的球。与<math>\mathbb{Q}_p</math>中的任何球一样，<math>\mathbb{Z}_p</math>是[[开集]]也是[[闭集]]。由<math>\mathbb{Q}_p</math>的[[超度量]]特性可以推出，<math>\mathbb{Q}_p</math>可以[[分划|划分]]为形同<math>x +\mathbb{Z}_p</math>的球的[[不交并|不交]][[并集]]，其中的{{mvar|x}}是<math>\mathbb{Q}_p/ \mathbb{Z}_p</math>即<math>\mathbb{Z}\left[ \frac{1}{p} \right] / \mathbb{Z}</math>的代表元素。因此要研究<math>\mathbb{Q}_p</math>上的函数，可以转化为研究<math>\mathbb{Z}_p</math>上的函数{{r|gtm198|page=160}}。

===连续函数===
<math>\mathbb{Z}_p</math>上的连续函数定义与实数中的定义一致。适用于所有度量空间的连续性基本性质在<math>\mathbb{Z}_p</math>上也适用，例如在紧集上处处连续的函数[[绝对连续]]{{r|fqg|page=93}}。

在实分析与复分析中，[[魏尔斯特拉斯逼近定理]]说明了，闭区间上的实值或复值[[连续函数]]能够被[[多项式|多项式函数]][[一致逼近]]，然而统一而具体的逼近多项式函数是不存在的{{r|gtm198|page=160}}。在{{mvar|p}}进数分析中，[[马勒定理]]说明了<math>\mathbb{Z}_p</math>上的连续函数（取值在<math>\mathbb{Q}_p</math>或<math>\mathbb{C}_p</math>上）能够被多项式函数一致逼近，而且这些多项式函数有统一的显式表达（其系数都是只和函数本身相关的常数）{{r|gtm198|page=173}}。[[范德普特定理]]说明，<math>\mathbb{Z}_p</math>上的连续函数都能够被<math>\mathbb{Z}_p</math>上的[[指示函数|球指示函数]]（即只在球<math>i +p^j\mathbb{Z}_p</math>上取值为1，其余时候取值为0的函数）的[[线性组合]]一致逼近，而且给出了具体的系数{{r|gtm198|page=182-183}}。

===导数===
<math>\mathbb{Z}_p</math>上的函数也可以定义导数，就像实分析中一样：给定开集{{mvar|U}}，考察函数<math>f : \; U \rightarrow \mathbb{Q}_p</math>。对{{mvar|U}}中一点{{mvar|x}}，如果极限：
::<math>f'(x) := \, \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}</math>
存在，就称函数{{mvar|f}}在点{{mvar|x}}可导，导数为上述极限{{mvar|f '}}({{mvar|x}})。这样定义的导数和导函数与它们在实分析中对应的对象拥有某些共同点。比如可导的函数总是连续函数。不过，由于“区间”概念的缺失，<math>\mathbb{Q}_p</math>上无法建立对应于实分析中[[中值定理]]的结论。没有“中值定理”，“传统的”导数在{{mvar|p}}进分析中无法拥有很多在实分析中有重要价值的性质。比如，存在一个处处可导，导函数恒等于零的函数，它自身并不是常数函数{{r|fqg|page=93-94}}。

==参见==
*[[p进数|{{mvar|p}}进数]]
*[[马勒定理]]
*[[亨泽尔引理]]
*[[局部紧群]]
*[[p进量子力学|{{mvar|p}}进数量子力学]]

==参考来源==
{{reflist|refs=
<ref name="gtm198">{{cite book | first= Alain M.| last= Robert| year= 2000| title= A Course in p-adic Analysis| url= https://archive.org/details/courseinpadicana0000robe| publisher= Springer|language=en| isbn=0-387-98669-3 }}</ref>
<ref name="fqg">{{cite book | author= Fernando Q. Gouvêa| year= 2000| title= p-adic Numbers : An Introduction| edition= 2nd| publisher= Springer| isbn=3-540-62911-4 |language=en}}</ref> 
}}
[[Category:P進數]]
[[Category:数论]]
[[Category:数学分析]]