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'''Oloid'''是一种三维曲面的名称。它由{{link-de|保罗·沙茨|Paul Schatz}}在1929年发现。它是一种[[可展曲面]]。
[[Image:Oloid structure.svg|thumb|300px|Oloid 构造]]

== 构造 ==

Oloid曲面可由下述方法构造：将两个全等的圆形在三维空间内互相垂直放置，并保持它们的圆心距等于<math>r</math>（这时一个圆的圆周恰在另一个的圆心上）。构造一个凸曲面将上述骨架包裹，并使该凸曲面的面积最小，便得到一个Oloid曲面。可以证明oloid曲面和圆的[[交集]]是两条2/3圆弧。

== 性质 ==
[[Image:Oloid development.svg|thumb|240px|图为Oloid曲面的无压缩平面展开]]

=== 表面积 ===

Oloid曲面的表面积公式为（其中<math>r</math>为骨架圆的[[半径]]）：
:<math>\!A = 4\pi r^2</math>
这和半径为<math>r</math>的[[球体]]的表面积恰好相等。

=== 体积 ===

一个闭合的Oloid曲面所围成的体积是：
:<math>\frac{2}{3} \left(2 E\left(\frac{3}{4}\right) + K\left(\frac{3}{4}\right)\right)r^{3}</math>
其中<math>r</math>为骨架圆的[[半径]]，而<math>E</math>和<math>K</math>是[[椭圆积分]]。

=== 可展性 ===

Oloid曲面是可展曲面，因此对于曲面上的任何一点，其[[高斯曲率]]恒等于0。这意味着Oloid曲面可以不经过压缩变形而展开为一平坦的[[欧几里德平面]]。同样，特定形状的平坦平面可以不经压缩而围成Oloid曲面。右图即是Oloid曲面的二维展开。

[[Category:曲面]]
[[Category:微分几何]]