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在纯[[数学]]分支[[抽象代数]]中，'''MV-代数'''（多值代数）是带有[[二元运算]] <math>\oplus</math>、[[一元运算]] <math>\neg</math> 和常量 <math>0</math> 的满足特定公理的[[代数结构]]。[[多值逻辑]]是 MV-代数的[[模型论|模型]]。

== 定义 ==

设 ''A'' 是个[[集合 (数学)|集合]]。'''MV-代数'''是[[代数结构]]，带有型 <math> \ \langle 2,1,0 \rangle </math> 的标识(signature) <math> \left \langle A, \oplus, \lnot, 0 \right \rangle, </math>，它满足如下恒等式：
* <math> (x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)</math>,
* <math> x \oplus 0 = x </math>, 
* <math> x \oplus y = y \oplus x </math>,
* <math> \lnot \lnot x = x </math>, 
* <math> x \oplus \lnot 0 = \lnot 0</math>, 
* <math>\ \lnot ( \lnot x \oplus y)\oplus y = \lnot ( \lnot y \oplus x) \oplus x</math>.

备注：通过前三个公理 <math> \left \langle A, \oplus, 0 \right \rangle </math> 是交换[[幺半群]]。

或者作为替代，MV-代数是一个[[剩余格]] <math>A= \left \langle L, \wedge, \vee, \otimes, \rightarrow, 0, 1 \right \rangle </math> 满足额外恒等式
: <math> \forall \ x,y \in A: x \vee y = (x \rightarrow y) \rightarrow y</math>。

Hájek (1998)描述了这两个公式的等同。

== 例子 ==
一个简单的例子是 <math>A=[0,1] \,</math>，带有定义为 <math> x \oplus y = min(x+y,1)</math> 和 <math> \lnot x=1-x</math> 的运算。

== 讨论 ==
在多值逻辑中，给定一个 MV-代数 A，一个 A-[[賦值 (邏輯)|賦值]]就是从[[命题演算]]中公式的集合到 MV-代数的函数。如果对于所有 A-賦值这个函数把一个公式映射到 1（或 <math>\lnot</math>0），则这个公式是一个 A-重言式。因此对于无穷值逻辑（比如[[模糊逻辑]]、[[武卡谢维奇逻辑]]），我们设 [0,1] 是 A 的下层集合来获得 [0,1]-賦值和 [0,1]-重言式（经常就叫做賦值和重言式）。

Chang 发明 MV-代数来研究[[波蘭]][[數學家]][[扬·武卡谢维奇]]（{{lang|pl|Jan Łukasiewicz}}）在 1920 年介入的[[多值逻辑]]。Chang 的完备定理(1958, 1959) 声称任何在 [0,1] 区间成立的 MV-代数等式也在所有 MV-代数中成立。通过这个定理，证明了无穷值的[[武卡谢维奇逻辑]]可以被 MV-代数所刻画。后来同样适用于[[模糊逻辑]]。这类似于在 {0,1} 成立的布尔代数等式在任何[[布尔代数]]中也成立，[[布尔代数]]因此刻画了标准[[数理逻辑|二值逻辑]]。

== 引用 ==
*Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," ''Transactions of the American Mathematical Society 88'': 476-90.
*------ (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," ''Transactions of the American Mathematical Society 88'': 74-80. 
* Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I, M. L., Mundici, D., 2000. ''Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning''. Kluwer.
* Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of MV-algebras," ''Journal of Algebra 221'': 123-31.
* Hájek, Petr (1998) ''Metamathematics of Fuzzy Logic''. Kluwer.

== 外部链接 ==
* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]："[http://plato.stanford.edu/entries/logic-manyvalued/ Many-valued logic] {{Wayback|url=http://plato.stanford.edu/entries/logic-manyvalued/ |date=20060829234438 }}" -- by Siegfried Gottwald.

== 参见 ==
*[[布尔代数]]
*[[武卡谢维奇逻辑]]

[[Category:格理论]]
[[Category:半群论]]
[[Category:代数逻辑]]