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{{NoteTA|G1=Math}}
'''M/M/1排隊模型'''（M/M/1 model）是一種單一服务台（single-server）的（[[等候理論|排隊模型]]），可用作模擬不少系統的運作。

[[File:Mm1_queue.svg|right|M/M/1 schema]]

依據{{tsl|en|Kendall's notation|開恩特羅符號}}必須有下列的條件：

* 到達時間[[泊松过程|卜瓦松過程]]（Poisson process）；
* 服務時間是指數分佈（exponentially distributed）；
* 只有一个服务台（server），遵循先到先服务规则
* 隊列長度無限制
* 可加入隊列的人數為無限

== 分析 ==
這種模型是一種[[出生-死亡過程]]，此[[隨機過程中]]的每一個狀態代表模型中人數的數目。因為模型的隊列長度無限且參與人數亦無限，故此狀態數目亦為無限。例如狀態0表示模型閒置、狀態1表示模型有一人在接受服務、狀態2表示模型有二人（一人正接受服務、一人在等候），如此類推。
在此模型中，出生率（即加入隊列的速率）λ在各狀態中均相同，死亡率（即完成服務離開隊列的速率）μ亦在各狀態中相同（除了狀態0，因其不可能有人離開隊列）。
故此，在任何狀態下，只有兩種事情可能發生：
* 有人加入隊列。如果模型在狀態''k''，它會以速率λ進入狀態''k''&nbsp;+&nbsp;1
* 有人離開隊列。如果模型在狀態''k''（''k''不等於0），它會以速率μ進入狀態''k''&nbsp;−&nbsp;1

由此可見，模型的隱定條件為λ&nbsp;<&nbsp;μ。如果死亡率小於出生率，則隊列中的平均人數為無限大，故此這種系統沒有平衡點。

此模型中有幾項數值常被測量，例如：
* 一人在系統中的平均逗留時間
* 一人在接受服務前的平均等候時間
* 整個系統中的平均人數
* 等候隊列的平均人數
* 單位時間內系統完成服務人數，即服務速度

== 穩定狀態下的公式 ==
缓冲效用 <math>\scriptstyle \rho\,=\,\tfrac{\lambda}{\mu}.</math>
表示服务被占用的平均概率

平稳过程在狀態''i''（“i”个总人数，包括正在被服务的）的機率為

: <math>\mbox{Prob}(q=i)=\pi_i=(1-\rho)\rho^i.\,</math>

由此，可給出各測量數值的公式：

* 整個系統的平均人數''N''：

:: <math>\overline N=\frac{\rho}{1-\rho}</math>，且其方差為
:: <math>\sigma^2_N = \frac{\rho}{(1 - \rho)^2}</math>.

* 一單位時間內系統完成服務的人數：

:: <math>\overline N_S = \rho \mu = \lambda</math>

* 在隊列中等候服務的人數：

:: <math>\overline N_Q = \frac{\rho^2}{1 - \rho}</math>

* 一人在系統中的平均逗留（等候＋接受服務）時間：

:: <math>T=\frac{1}{\mu-\lambda}.</math>

* 一人的平均等候時間：

:: <math>W = \frac{\overline N_Q}{\lambda} = T - \overline x = T - \frac{1}{\mu} = \frac{\rho}{\mu - \lambda}</math>

== 例 ==
可用M/M/1模型的例子眾多，例如只有一位員工的郵局，只有一隊列。客人進來，排隊、接受服務、離開。如果客人進來的數目符合[[泊松過程]]，且服務時間是[[指數分佈]]，則可用M/M/1模擬，並算出平均隊列長度、不同等候時間的機率等。

M/M/1可一般化成為M/M/n模型，使可用時接受服務的人數為大於一。歷史上，M/M/n模型首先被用來模擬電話系統，因為一个在丹麦哥本哈根电话局工作的工程师Erlang發現客人打電話的速率符合[[泊松過程]]，且通話時間是[[指數分佈]]，所以佔用通訊線路的數目和等待接線的人數符合M/M/n模型。

==关联项目==
*[[排队理论]]
*[[马尔科夫链]]

[[Category:隨機過程|M]]
[[Category:等候理論|M]]