查看“︁Lp范数”︁的源代码

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{{Downsize|''L''<sup>''p''</sup>範數}}
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|G1 = Math
|1=zh-hans:泛化; zh-hant:一般化;
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<math>L_p</math>-范数（英语：<math>L_p</math>-norm，亦称 <math>\ell_p</math>-范数、<math>p</math>-范数)是[[向量空间]]中的一组[[范数]]。<math>L_p</math>-范数与[[幂平均]]有一定的联系。它的定义如下：

<math>L_p(\vec x) = \lVert\vec x\rVert_{p} = \Bigl(\sum_{i = 1}^{n}|x_{i}|^{p}\Bigr)^{1 / p},\qquad\vec x = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\},\,p\geqslant 1.</math>

== ''p'' 的不同取值 ==

[[Image:Unit Circle of Lp-norm, in R2 space.png|thumb|800px|图中的<math>q</math>即是<math>L_p</math>范数中的<math>p</math>。这是当<math>p</math>取不同值时，在<math>\mathbb R^{2}</math>空间上的<math>L_p</math>-范数等高线的其中一条。该图展现了各<math>L_p</math>-范数的形状。]]

* {{来源请求|<math>p = -\infty</math>: <math>\lVert\vec x\rVert_{- \infty} = \lim_{p \to -\infty}\Bigl(\sum\limits_{i = 1}^{n}|x_{i}|^{p}\Bigr)^{1 / p} = \min_{i}|x_i|</math>。}}
* <math>p = 0</math>：<math>\lVert\vec x\rVert_0 = \sum_{i=1}^{n} \left[x_i \neq 0\right]</math>，也就是所有 <math>x_i</math> 中，不等于零的个数。注意，这里的 <math>L_0</math>-范数并非通常意义上的范数（不满足[[三角不等式]]或[[次可加性]]）。<ref>但在 <math>\mathbb R^{1}</math> 当中，它就是欧氏距离；在 <math>\mathbb R^{0}</math> 当中，它是平凡的。</ref>
* <math>p = 1</math>：<math>\lVert\vec x\rVert_1 = \sum\limits_{i = 1}^{n}|x_i|</math>，即 <math>L_1</math>-范数是向量各分量绝对值之和，又称[[曼哈顿距离]]。
* <math>p = 2</math>: <math>\lVert\vec x\rVert_2 = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^{n}|x_i|^{2}}</math>，此即[[欧氏距离]]。
* <math>p = +\infty</math>: <math>\lVert\vec x\rVert_\infty = \lim_{p \to +\infty}\Bigl(\sum\limits_{i = 1}^{n}|x_{i}|^{p}\Bigr)^{1 / p} = \max_{i}|x_i|</math>，此即[[无穷范数]]或[[最大范数]]，亦称[[切比雪夫距离]]。

== 在机器学习中的应用 ==
{{主条目|正则化 (计算机科学)}}

在机器学习中，为了对抗[[过拟合]]、提高模型的泛化能力，可以通过向[[目标函数]]当中引入参数向量的 <math>L_p</math>-范数来进行[[正则化]]。其中最常用的是引入 <math>L_1</math>-范数的 <math>L_1</math>-正则项和引入 <math>L_2</math>-范数的 <math>L_2</math>-正则项；前者有利于得到[[稀疏解]]，后者有利于得到[[平滑解]]。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

[[Category:線性代數|F]]
[[Category:泛函分析|F]]
[[Category:度量几何|F]]
[[Category:范数|*]]
[[Category:机器学习|*]]