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{{NoteTA
|G1 = Physics
|G2 = IT
}}
'''LOCC''' 是 Local Operations（局域操作）and Classical Communications（經典通訊）的縮寫，它是一種用在[[量子信息]]上、對量子態進行操作的方法。簡單的說，當一個量子系統被分成許多部份，每個部份的測量和操作只限制在該部分上，各個部分之間允許經典通訊，例如：打電話。許多[[量子信息]]的工作必須藉由 '''LOCC''' 來完成，例如：假設某次實驗室製備了一個[[貝爾態]]，但是卻不能確定這個[[貝爾態]]是 <math>|\psi_1\rangle</math> 還是 <math>|\psi_2\rangle</math>，其中 <math>|\psi_1\rangle</math> 和 <math>|\psi_2\rangle</math> 是

[[Image:LOCC.png|thumb|right|局域操作和經典通訊示意圖]]

:<math>
 |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B + |1\rangle_A\otimes|1\rangle_B\right)
</math>
:<math>
 |\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A\otimes|1\rangle_B + |1\rangle_A\otimes|0\rangle_B\right)
</math>
A和B兩個[[量子位元]]是分隔兩地的，並且由''愛麗絲''對[[量子位元]]A進行操作，由''鲍勃''對[[量子位元]]B進行操作。首先''愛麗絲''測量[[量子位元]]A並得到結果0，此時我們仍不知道當初實驗室製備的[[貝爾態]]是 <math>|\psi_1\rangle</math> 還是 <math>|\psi_2\rangle</math>。這時候''愛麗絲''藉由打電話把結果告訴''鲍勃''，接著''鲍勃''對[[量子位元]]B進行測量並得到結果0，現在''鲍勃''得知[[波函數]]塌縮成 <math>|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B</math>，所以推得實驗室製備的[[貝爾態]]是 <math>|\psi_1\rangle</math>。

==糾纏轉換==
將一個量子系統分成兩部分，利用 '''LOCC''' 操作，把一個糾纏態轉換成另一個糾纏態。
舉例說明：''愛麗絲''和''鲍勃''分別擁有一個糾纏態(純態)的一部分，例如 <math>\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid\uparrow\downarrow\rangle-\mid\downarrow\uparrow\rangle )</math>。''愛麗絲''和''鲍勃''都只能對各自的自旋進行操作，也就是Local Operation的意思。當然這個操作也包含測量，當''愛麗絲''進行S<sub>z</sub>的測量後，得到本征值+ħ/2，波函數塌縮成 <math>\mid\uparrow\downarrow\rangle</math>，然後''愛麗絲''透過電話告訴''鲍勃''結果，這就是Classical Communications，''鲍勃''知道結果後也相應做了一個Local Operation，現在''鲍勃''做σ<sub>x</sub>操作，於是波函數變為 <math>\mid\uparrow\uparrow\rangle</math>。如果剛才''愛麗絲''測得本征值-ħ/2，波函數塌縮成 <math>\mid\downarrow\uparrow\rangle</math>，則''愛麗絲''立即進行σ<sub>x</sub>操作，然後經由電話告訴''鲍勃''，要求''鲍勃''不做任何操作，結果仍然可將波函數透過利用LOCC轉換成 <math>\mid\uparrow\uparrow\rangle</math>。

顯然利用 LOCC 把某個態 <math>|\psi\rangle</math> 轉換成 <math>|\phi\rangle</math>，A與B之間的糾纏只能變小或維持不變。但是並不是只要 <math>|\phi\rangle</math> 的[[糾纏熵]]比 <math>|\psi\rangle</math> 的[[糾纏熵]]還小就必定能透過 LOCC 作轉換。要判斷可不可轉，首先，可以把 <math>|\psi\rangle</math> 和 <math>|\phi\rangle</math> 分別做{{link-en|施密特分解|Schmidt decomposition}}：
:<math>
|\psi\rangle=\sum_{i=1}^D\sqrt{\omega_i}|a_i\rangle |b_i\rangle
</math>
:<math>
|\phi\rangle=\sum_{i=1}^D\sqrt{\omega_i'}|a_i'\rangle |b_i'\rangle
</math>
將Schmidt值由大至小排列然後進行比較。尼爾森(Nielsen)在1999年提出定理<ref>M. A. Nielsen, Phys. Rev. Lett. '''83''', 436 - 439 (1999)</ref>:
::若Majorization
:::<math>\sum_{i=1}^k\omega_i\le\sum_{i=1}^k\omega_i'</math>,
::對於所有 <math>k</math> 都成立，則 <math>|\psi\rangle</math> 可利用LOCC轉換成 <math>|\phi\rangle</math>。
然而若上述條件不成立，並不表示 LOCC 轉換必定不成立。如果允許引入'''催化態'''，LOCC 轉換仍有可能的。

===催化轉換===
Jonathan 和 Plenio 在尼爾森定理發表不久即給出一個催化轉換的例子<ref>D. Jonathan and M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. '''83''', 3566 (1999)</ref>：考慮
:<math>|\psi\rangle=\sqrt{0.4}|00\rangle+\sqrt{0.4}|11\rangle+\sqrt{0.1}|22\rangle+\sqrt{0.1}|33\rangle</math>
:<math>|\phi\rangle=\sqrt{0.5}|00\rangle+\sqrt{0.25}|11\rangle+\sqrt{0.25}|22\rangle</math>
:<math>|c\rangle=\sqrt{0.6}\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.4}\mid\downarrow\downarrow\rangle</math>
以上三個態已經過{{link-en|施密特分解|Schmidt decomposition}}且係數皆由大至小排列，以下進行 <math>|\psi\rangle</math> 和 <math>|\phi\rangle</math> 驗算係數的前 <math>k</math> 項之和：
:::{| class="wikitable"
|-
| <math>k</math> || <math>|\psi\rangle</math> || <math>|\phi\rangle</math>
|- style="background: green; color: white"
| 0 || 0.4 || 0.5
|- style="background: red; color: white"
| 1 || 0.8 || 0.65
|- style="background: green; color: white"
| 2 || 0.9 || 1.0
|- 
| 3 || 1.0 || 1.0
|}
以上表格中，若「<math>|\psi\rangle</math> 的前 <math>k</math> 項之和」比「<math>|\phi\rangle</math> 的前 <math>k</math> 項之和」小的話，填入綠色；大的話，填入紅色；相等則是留下白色。如此一來，'''觀察 <math>k</math> 方向的顏色'''便一目了然。如果所有顏色皆為綠色，則表示 <math>|\psi\rangle</math> 可經由LOCC轉換成 <math>|\phi\rangle</math>；如果所有顏色皆為紅色，則表示 <math>|\phi\rangle</math> 可經由LOCC轉換成 <math>|\psi\rangle</math>；如果顏色既有紅色又有綠色，則說明若無催化態便不可轉換。

那麼什麼是「催化轉換」和「催化態」呢？我們考慮直積態 <math>|\psi\rangle |c\rangle</math> 和 <math>|\phi\rangle |c\rangle</math>：
:<math>\begin{align}|\psi\rangle |c\rangle &=
\sqrt{0.24}|00\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.24}|11\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+
\sqrt{0.16}|00\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+\sqrt{0.16}|11\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle\\
&+\sqrt{0.06}|22\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.06}|33\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+
\sqrt{0.04}|22\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+\sqrt{0.04}|33\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle\end{align}</math>
:<math>\begin{align}|\phi\rangle |c\rangle &=
\sqrt{0.30}|00\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.20}|00\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+
\sqrt{0.15}|11\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.15}|22\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle\\
&+\sqrt{0.10}|11\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+\sqrt{0.10}|22\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle\end{align}</math>
以上各項已按照由大至小排列，接著同樣進行製作表格計算前 <math>k</math> 項之和：
:::{| class="wikitable"
|-
| <math>k</math> || <math>|\psi\rangle |c\rangle</math> || <math>|\phi\rangle |c\rangle</math>
|- style="background: green; color: white"
| 0 || 0.24 || 0.30
|- style="background: green; color: white"
| 1 || 0.48 || 0.50
|- style="background: green; color: white"
| 2 || 0.64 || 0.65
|- 
| 3 || 0.80 || 0.80
|- style="background: green; color: white"
| 4 || 0.86 || 0.90
|- style="background: green; color: white"
| 5 || 0.92 || 1.00
|- style="background: green; color: white"
| 6 || 0.96 || 1.00
|- 
| 7 || 1.00 || 1.00
|}
表格做完馬上看出所有顏色皆為綠色，因此根據尼爾森定理，<math>|\psi\rangle |c\rangle</math> 透過LOCC轉換成 <math>|\phi\rangle |c\rangle</math> 是可以的。由於 <math>|c\rangle</math> 只是從直積態中直接加入然後轉換完畢便可取走，很像化學反應中的[[催化劑]]，因此可稱 <math>|c\rangle</math> 是催化態。

===塔庫定理===
2007年塔庫（Turgut）證明了定理<ref>S. Turgut, J. Phys. A: Math. Theor. '''40''', 12185 (2007)</ref>

===糾纏轉換和量子多體系統===
<ref>J. Cui, M. Gu, ''et al.'' Quantum phases with differing computational power. [http://dx.doi.org/10.1038/ncomms1809 Nat. Commun. '''3''', 812 (2012)] {{Wayback|url=http://dx.doi.org/10.1038/ncomms1809 |date=20191018025527 }}.</ref>
<ref>F. Franchini, J. Cui, . Amico, H. Fan, M. Gu, V. Korepin, L. C. Kwek, and V. Vedral, Local Convertibility and the Quantum Simulation of Edge States in Many-Body Systems, [http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevX.4.041028 Phys. Rev. X '''4''', 041028 (2014)]</ref>
<ref>Y.-C. Tzeng, L. Dai, ''et al.'' Entanglement convertibility by sweeping through the quantum phases of the alternating bonds XXZ chain. [http://dx.doi.org/10.1038/srep26453 Sci. Rep. '''6''', 26453 (2016)] {{Wayback|url=http://dx.doi.org/10.1038/srep26453 |date=20191018025529 }}.</ref>
==參考文獻==
{{reflist}}
[[Category:量子信息科学]]