查看“︁K3曲面”︁的源代码

在[[數學]]領域的[[代數幾何]]及[[複流形]]理論中，'''K3曲面'''是一類重要的緊複曲面，在此「曲面」係指'''複'''二維，視作實[[流形]]則為四維。

K3曲面與二維[[複環面]]構成二維的[[卡拉比-丘流形]]。複幾何所探討的K3曲面通常不是代數曲面；然而這類曲面首先出現於代數幾何，並以[[恩斯特·庫默爾]]、[[埃里希·卡萊爾]]與[[小平邦彥]]三位姓氏縮寫為 K 的代數幾何學家命名，也與1950年代被命名的[[乔戈里峰|K2峰]]相映成趣。

== 定義 ==
在不同的脈絡下，K3曲面的定義略有不同。

* 在複幾何中，K3曲面是具有平凡[[典範叢]]的緊緻、[[單連通]]複曲面。
* 在代數幾何中，K3曲面是具有平凡典範叢，且 <math>H^1(X, \mathcal{O}_X)=0</math> 的射影曲面。此定義可推廣至任意[[域 (數學)|域]]上的代數曲面。
* 另有一個物理文獻中常見的刻劃：K3曲面是不同構於 <math>T^4</math> 的複二維[[卡拉比-丘流形]]。

== 重要性質 ==
# 若將K3曲面視為四維實流形，則它們彼此[[微分同胚]]。其[[貝蒂數]]為：1、0、22、0、1。
# 所有K3曲面都是[[卡萊爾流形]]。
# 根據[[丘成桐]]證出的[[卡拉比猜想]]，所有K3曲面都配有[[里奇曲率張量|里奇平坦度量]]。
# 現已知對複K3曲面存在一個20維的[[粗模空間]]。對複K3曲面，存在[[週期映射]]，而且相應的[[托雷利定理]]成立。K3曲面也另有其它數種具備良好週期映射的模空間。
# K3曲面在[[弦理論]]中扮演重要角色，因為它提供了除[[環面]]之外最簡單的緊緻化。K3曲面上的緊化保存一半的[[超對稱]]。

== 例子 ==
* '''庫默爾曲面'''源自一個二維[[阿貝爾簇]] <math>A</math> 對 <math>a \mapsto -a</math> 的商空間，此商在二階撓點上產生 <math>2^4=16</math> 個奇點。該空間的極小分解是個K3曲面。
* <math>\mathbb{P}^3</math> 裡的四次平滑曲面。
* <math>\mathbb{P}^4</math> 裡二次曲面與三次曲面之交。
* <math>\mathbb{P}^5</math> 裡三個二次曲面之交。
* <math>\mathbb{P}^2</math> 沿一條平滑六次曲線的分歧覆蓋。

== 參見 ==
* [[代數曲面]]

== 參考文獻 ==
*{{citation|title=Compact Complex Surfaces|first= Wolf P.|last1= Barth|first2=Klaus|last2= Hulek|first3= Chris A.M. |last3=Peters|first4= Antonius |last4=Van de Ven |ISBN=3-540-00832-2|year=2004}}
*{{springer|title=K3 surface|id=k/k055040|author=A.N. Rudakov}}

== 外部連結 ==
*[http://arxiv.org/abs/hep-th/9611137 K3 Surfaces and String Duality, by Paul Aspinwall] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/hep-th/9611137 |date=20200726203836 }}
*[https://web.archive.org/web/20070612114625/http://www.cgtp.duke.edu/ITP99/morrison/cortona.pdf The Geometry of K3 surfaces, by David Morrison]

[[Category:代數幾何]]
[[Category:微分幾何]]
[[Category:曲面]]