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在[[数学]]中，'''K-理论'''（{{lang|en|K-theory}}）是多个领域使用的一个工具。在[[代数拓扑]]中，它是一种[[异常上同调]]，称为[[拓扑K-理论]]；在[[代数]]与[[代数几何]]中，称之为[[代数K-理论]]；在[[算子代数]]中也有诸多应用。它导致了一类''K''-[[函子]]构造，K-函子包含了有用、却难以计算的信息。 

在[[物理学]]中，K-理论特别是{{link-en|扭曲K-理论|twisted K-theory}}出现在[[第二型弦理論]]，其中猜测它们可分类[[D-膜]]、{{link-en|拉蒙-拉蒙场|Ramond-Ramond field}}以及广义[[复流形]]上某些[[旋量]]。具体细节参见[[K-理论 (物理)]]。

== 早期历史 ==
这个课题最早由[[亚历山大·格罗滕迪克]]1957年发现，名字取自[[德文]]“{{lang|de|Klasse}}”，意为“分类”''{{lang|en|class}}''，进而表述为[[格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理]]<ref>{{arXiv|0602082}}</ref>。格罗腾迪格需要在代数簇''X''的[[层 (数学)|层]]上工作。不是直接在处理层，他给出了两个构造。首先，他利用[[直和]]运算将层的交换[[幺半群]]转换成一个群<math>K(X)</math>通过取层的分类的形式和以及形式加法逆（这是得到给定函子[[伴随函子|左伴随]]的明确方法）。在第二个构造中，他强加以与层扩张一致的额外关系，得到一个现在记作<math>G(X)</math>的群。这两个构造都被称为{{link-en|格罗滕迪克群|Grothendieck group}}；<math>K(X)</math>具有[[上同调]]表现而<math>G(X)</math>有同调表现。

如果<math>X</math>是一个光滑簇，两个群是相同的。

在拓扑学中，我们对[[向量丛]]有类似的和构造。[[迈克尔·阿蒂亚]]与[[弗里德里希·希策布鲁赫]]在1959年使用格罗腾迪格群构造来定义[[拓扑空间]]<math>X</math>的<math>K(X)</math>（两个构造一致）。这是在[[代数拓扑]]中发现的第一个[[奇异上同调理论]]的基础。它在[[阿蒂亚-辛格指标定理|指标定理]]的第二证明中起了巨大的作用。此外，这种途径导向了[[C*-代数]]的[[非交换拓扑|非交换]]<math>K</math>-理论。

在1955年，[[让-皮埃尔·塞尔]]已经用具有[[投射模]][[向量丛]]的类似物来表述{{link-en|奎伦-苏斯林定理|Quillen–Suslin theorem|塞尔猜想}}，该猜想声称一个域上[[多项式]]环上的投射模是[[自由模]]；这个论断是正确的，但直到20年后才解决（{{link-en|斯旺定理|Serre–Swan theorem}}是这个类比的另一方面）。1959年，塞尔给出了环的格罗腾迪克群构造，用它来证明投射模是稳定自由的。这个应用是[[代数K理论]]之开端。

== 发展 ==
随后一个时期，出现了各种类型的“高阶K-理论函子”定义。最后，两种有用的等价定义由[[丹尼尔·奎伦]]在1969年与1972年用[[同伦理论]]给出。另一种变体也由{{弗里德海姆·瓦尔德豪森|Friedhelm Waldhausen}}为了研究“空间的代数K-理论”提出，这与伪同痕的研究有关。大多数现代高阶K-理论研究与代数几何和{{主上同调|motivic cohomology}}有关。

带有一个辅助的[[二次型]]的相应构造具有一般名字[[L-理论]]。它是[[割补理论]]的主要工具。

在[[弦理论]]中，[[拉蒙-拉蒙场强]]与稳定[[D-膜]]电荷的K-理论分类在1997年首次提出<ref>由Ruben Minasian（http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7）和{{dead link|date=2017年11月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}{{link-en|格里高利·摩尔|Gregory Moore}} http://www.physics.rutgers.edu/~gmoore {{Wayback|url=http://www.physics.rutgers.edu/~gmoore |date=20201023035130 }}) 于[http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/9710230 K-theory and Ramond-Ramond Charge]中提出。</ref>。

== 另见 ==
*{{link-en|上同调论列表|List of cohomology theories}}
*{{link-en|K-理论 (物理)|K-theory (physics)}}
*[[L-理论]]
*[[博特周期性]]
*[[拓扑K-理论]]
*Todd class

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | title=K-theory | publisher=[[Addison-Wesley]] | edition=2nd | series=Advanced Book Classics | isbn=978-0-201-09394-0 | id={{MathSciNet | id = 1043170}} | year=1989}}（阿蒂亚在哈佛的介绍性课程，基于D. W. Anderson的笔记出版。由定义向量丛开始，不需要多少高深数学。）
* Max Karoubi, [https://web.archive.org/web/20070913181033/http://www.institut.math.jussieu.fr/~karoubi/KBook.html K-theory, an introduction]（1978）Springer-Verlag
* Allen Hatcher, ''[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html Vector Bundles & K-Theory]{{Wayback|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html |date=20110514024151 }}''，（2003）
* {{planetmath reference|id=3338|title=K-theory|urlname=ktheory}}
* {{planetmath reference|id=4049|title=Examples of K-theory groups|urlname=examplesofktheorygroups}}
* {{planetmath reference|id=4117|title=Algebraic K-theory|urlname=algebraicktheory}}
* {{planetmath reference|id=4118|title=Examples of algebraic K-theory groups|urlname=examplesofalgebraicktheorygroups}}
* {{planetmath reference|id=3329|title=Fredholm module|urlname=fredholmmodule}}
* {{planetmath reference|id=3330|title=K-homology|urlname=khomology}}
* [https://web.archive.org/web/20100331192334/http://www.math.jussieu.fr/~karoubi/ Max Karoubi's Page]

== 注释 ==
{{Reflist}}

[[Category:代数]]
[[Category:代数拓扑]]
[[Category:K-理论|*]]