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'''<math>\mathcal{K}</math>類函數'''（Class kappa function）也稱為是在[[控制理論]]中判斷非[[自治系統]]（nonautonomous system）是否穩定時會用到的一類函數，會將其他函數和<math>\mathcal{K}</math>類函數比較，以確認系統的[[穩定性]]。

[[連續函數]]<math>\alpha : [0, a) \rightarrow [0, \infty)</math>若滿足以下條件，則屬於<math>\mathcal{K}</math>類函數：
* 函數嚴格[[递增函数|遞增]]。
* 函數滿足<math>\alpha(0) = 0</math>。

連續函數<math>\alpha : [0, a) \rightarrow [0, \infty)</math>若滿足以下條件，則屬於'''<math>\mathcal{K}_{\infty}</math>類函數'''：
* 函數屬於<math>\mathcal{K}</math>類函數。
* 函數的[[定义域|定義域]]範圍可以到[[無限大]]，<math>a = \infty</math>.
* 函數滿足<math>\lim_{r \rightarrow \infty} \alpha(r) = \infty </math>.

若一非遞減的[[正定函數 (實值連續可微函數)|正定函數]]<math>\beta</math>滿足所有<math>\mathcal{K}</math>類（或<math>\mathcal{K}_{\infty}</math>類）函數的條件，只有嚴格遞增條件不滿足，可以用以下的方式讓此函數的上下界用<math>\mathcal{K}</math>類（或<math>\mathcal{K}_{\infty}</math>類）函數來表示：
:<math> \beta(x)\frac{x}{x+1}< \beta(x)<\beta(x)\left(\frac{x}{x+1}+1\right)=\beta(x)\frac{2x+1}{x+1}, \qquad x\in(0,a). \,</math>
<!--Thus, to proceed with the appropriate analysis, it suffices to bound the function of interest with continuous nonincreasing positive definite functions.-->

==<math>\mathcal{KL}</math>類函數==
連續函數<math>\beta : [0, a) \times [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)</math>若滿足以下條件，則屬於'''<math>\mathcal{KL}</math>類函數'''：
*對於每一個固定的<math>s</math>，函數<math>\beta(r,s)</math>屬於<math>\mathcal{K}</math>類函數
*對於每一個固定的<math>r</math>，函數<math>\beta(r,s)</math>會隨著<math>s</math>遞減，而且當<math>s \rightarrow \infty</math>時，<math>\beta(r,s) \rightarrow 0</math>。

==參考資料==
* H. K. Khalil, Nonlinear systems, Prentice-Hall 2001. Sec. 4.4 - Def. 4.2.
[[Category:控制理論]]