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'''Jury穩定性準則'''（Jury stability criterion）是在[[信号处理]]及[[控制理论]]中，判斷線性離散系統穩定性的方式，是利用分析[[特徵多項式]]來進行分析。Jury穩定性準則是[[劳斯–赫尔维茨稳定性判据]]的離散時間版本。Jury[[稳定性判据]]要求系統的極點都要位在以原點為圓心的[[單位圓]]內，劳斯–赫尔维茨稳定性判据要求系統的極點在複數平面的左半邊。Jury穩定性準則得名自伊拉克裔美籍工程師{{link-en|殷巴爾·易卜拉欣·朱瑞|Eliahu Ibraham Jury}}。

== 方法 ==

系統的特徵多項式如下

: <math>f(z)=a_n+a_{n-1}z^1+a_{n-2}z^2+\cdots+a_1z^{n-1} + a_0z^n</math>

用以下的方式來建構表格<ref>Discrete-time control systems (2nd ed.), pg. 185. Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, NJ, USA ©1995 {{ISBN|0-13-034281-5}}</ref>：

{| class="wikitable"
|-
! row !! z<sup>n</sup> !! z<sup>n-1</sup>  !! z<sup>n-2</sup>  !! z<sup>....</sup>  !! z<sup>1</sup>  !! z<sup>0</sup>
|-
| 1 || a<sub>0</sub> ||  a<sub>1</sub> ||  a<sub>2</sub>||  ... ||  a<sub>n-1</sub> ||  a<sub>n</sub>
|-
| 2 || a<sub>n</sub> ||  a<sub>n-1</sub> ||  a<sub>n-2</sub>||  ... ||  a<sub>1</sub> ||  a<sub>0</sub>
|-
| 3 ||b<sub>0</sub> ||  b<sub>1</sub> ||  ...||  b<sub>n-2</sub> ||  b<sub>n-1</sub> ||  
|-
| 4 || b<sub>n-1</sub> ||  b<sub>n-2</sub> || ... || b<sub>1</sub> ||  b<sub>0</sub> ||  
|-
| 5 ||c<sub>0</sub> ||  c<sub>1</sub> ||...||  c<sub>n-2</sub> ||   ||  
|-
| 6 ||c<sub>n-2</sub> ||  c<sub>n-3</sub> ||...||  c<sub>0</sub> ||   ||  
|-
| ... || ...|| ... || ... || ... || ... || ...
|-
| 2n-5 ||p<sub>3</sub> ||  p<sub>2</sub> ||  p<sub>1</sub>||  p0 ||   || 
|-
| 2n-4 ||p<sub>0</sub> ||  p<sub>1</sub> ||  p<sub>2</sub>||  p3 ||   || 
|-
| 2n-3 ||q<sub>2</sub> ||  q<sub>1</sub> ||  q<sub>0</sub>||   ||   ||  
|}

因此，第一行是多項式的係數，從常數項次而高次項次排列，第二行則是第一行的反序。

第三行是將第一行減去第二行乘以<math>\frac{a_n}{a_0}</math>，而第四行是第三行的反序（並且維持最後一個元素為零）。

: <math>
\begin{align}
a_0 \;\; &  a_1       \;\; & \dots  \;\; & a_{n-1} \;\;& a_n\\
a_n  \;\; & a_{n-1}  \;\; & \dots  \;\; & a_1      \;\;& a_0\\
\left(a_0-a_n \frac{a_n}{a_0}\right)\;\;& \left(a_{1} - a_{n-1} \frac{a_n}{a_0}\right) \;\; &\dots\;\; & \left(a_{n-1} - a_{1} \frac{a_n}{a_0}\right) \;\;& 0 \\
\left(a_{n-1} - a_{1} \frac{a_n}{a_0}\right)\;\; & \dots \;\;& \left(a_{1} - a_{n-1} \frac{a_n}{a_0}\right) \;\;& \left(a_0-a_n \frac{a_n}{a_0}\right)\;\;&0\\
\end{align}
</math>

表格繼續往下延伸，直到有一行只有一個非零元素為止。

針對頭兩行相減的係數是<math>\frac{a_n}{a_0}</math>，針對第三行及第四行相減的係數就變成<math>\frac{b_{n-1}}{b_{0}}</math>，因此所得的多項式會少一項。

== 穩定性測試 ==
若<math>{a_0}>0</math>，而<math>{a_0}</math>,<math>{b_0}</math>,<math>{c_0}</math>...都是正值，表示系統的根都在單位圓內，系統穩定。只要上述有任何一個小於零，表示系統至少有一個根都在單位圓外，系統不穩定。

若Jury穩定性準則發現<math>{a_0}</math>,<math>{b_0}</math>,<math>{c_0}</math>...中有一個為負值，即可結束測試，因為至少有一個根都在單位圓外，系統不穩定。

== 程式實現 ==
此方式用電腦的動態陣列很容易實現。也可以確認系統所有的根（實根或是複數根）都在單位圓內。向量v是原多項式的係數，從最高項次到常數項。
<syntaxhighlight lang="cpp">
        /* vvd is the jury array */
        vvd.push_back(v); // Store the first row
        reverse(v.begin(),v.end());
        vvd.push_back(v); // Store the second row

        for(i=2;;i+=2)
        {
            v.clear();
            double mult=vvd[i-2][vvd[i-2].size()-1]/vvd[i-2][0]; // This is an/a0 as mentioned in the article.

            for( j=0;j<vvd[i-2].size()-1;j++) // Take the last 2 rows and compute the next row
                   v.push_back(vvd[i-2][j] - vvd[i-1][j]*mult);

            vvd.push_back(v);
            reverse(v.begin(),v.end()); // reverse the next row
            vvd.push_back(v);
            if(v.size()==1) break;
         }

         // Check is done using
         for(i=0;i<vvd.size();i+=2)
         {
              if(vvd[i][0]<=0) break;
         }

         if(i==vvd.size())
              "All roots lie inside unit disc "
         else
              "no"
</syntaxhighlight>
== 範例 ==
若已知<math>\mathit{\Eta}(\mathrm{z})</math>的分母多項式為<math>\mathrm{A}(\mathrm{z})={\color{Blue}4z^4}-{\color{Brown}4z^3} + {\color{Brown}2z^1}-1</math>，判斷該系統是否穩定。<br>
解答:因為<math>\mathrm{A}(1)=4-4+2-1=1>0</math><br>
<math>(-1)^4\mathrm{A}(-1)=4+4-2-1=5>0</math><br>
將<math>\mathrm{A}(z)</math>的係數排列成朱利表(如下):

{| class="wikitable"
|-
! row !! z<sup>4</sup> !! z<sup>3</sup>  !! z<sup>2</sup>  !! z<sup>1</sup>  !! z<sup>0</sup>
|-
| 1 || <sub>4</sub> ||  <sub>-4</sub> ||  <sub>0</sub>||   <sub>2</sub> ||  <sub>-1</sub>
|-
| 2 || <sub>-1</sub> || <sub>2</sub> ||  <sub>0</sub>||   <sub>-4</sub> ||  <sub>4</sub>
|-
| 3 || <sub>15</sub> || <sub>-14</sub> ||  <sub>0</sub> ||  <sub>4</sub> ||  
|-
| 4 || <sub>4</sub> ||  <sub>0</sub> ||  <sub>-14</sub> ||  <sub>15</sub> ||  
|-
| 5 || <sub>209</sub> || <sub>-210</sub> ||  <sub>56</sub> ||   ||  
|-
|}
且<math>4>\left| -1 \right|</math><br>
<math>15>\left| 4 \right|</math><br>
<math>209>\left| 56 \right|</math><br>
即滿足Jury穩定條件，因此<math>\mathit{\Eta}(\mathrm{z})</math>所有極點位於<math>\left| z \right|<1</math>內，故系統是穩定的。

== 相關條目 ==
*[[林纳德–奇帕特判据]]：由[[劳斯–赫尔维茨稳定性判据]]產生的另一個連續系統稳定性判据。

== 參考資料 ==
{{Reflist}}
若需要更多細節，可以參考以下連結：
* [http://libra.msra.cn/Publication/1578446/a-note-on-the-reduced-schur-cohn-criterion A note on the reduced Schur–Cohn criterion]{{Webarchive|url=https://archive.today/20130628083345/http://libra.msra.cn/Publication/1578446/a-note-on-the-reduced-schur-cohn-criterion |date=2013-06-28 }}
* [https://en.wikibooks.org/wiki/Control_Systems/Jurys_Test Wikibooks on Control Systems - Jury's Test] {{Wayback|url=https://en.wikibooks.org/wiki/Control_Systems/Jurys_Test |date=20201025152014 }}

進階參考資料：
* {{Cite web |url=http://users.rsise.anu.edu.au/~briandoa/pubs/R300AN499.pdf |title=存档副本 |access-date=2019-03-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20080802013128/http://users.rsise.anu.edu.au/~briandoa/pubs/R300AN499.pdf |archive-date=2008-08-02 |dead-url=yes }}
* {{Cite journal | doi = 10.1016/0165-1684(96)00077-1| title = On the root distribution of general polynomials with respect to the unit circle| url = https://archive.org/details/sim_signal-processing_1996-08_53_1/page/75| journal = Signal Processing| volume = 53| pages = 75| year = 1996| last1 = Benidir | first1 = M. }}
* http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz {{Wayback|url=http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz |date=20081031150127 }}

有關實現的資料：
* http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/426/42696.html {{Wayback|url=http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/426/42696.html |date=20180222142616 }} (TI-83+/84+ graphing calculators)

{{DEFAULTSORT:Jury Stability Criterion}}
[[Category:稳定性理论]]