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數學上，'''horofunction'''是定義在一個完備[[度量空間]]''X''上的[[函數]]，是''X''上的距離函數的極限。horofunction是[[米哈伊爾·格羅莫夫]]將{{link-en|Busemann function|Busemann function}}推廣而引入的概念。

==定義==
設(''X'',''d'')為[[完備]][[度量空間]]。取基點<math>o\in X</math>。對任一點<math>x\in X</math>，定義距離函數
:<math>d_x(y)=d(x,y)-d(y,o)</math>
這個函數[[連續函數|連續]]，因此在''X''的連續函數空間''C''(''X'')中。在空間''C''(''X'')中賦以sup[[範數]]，建立<math> X\to C(X) </math>的映射
: <math>x\mapsto d_x</math>
易知這個映射是[[等距嵌入]]，稱為'''Kuratowski嵌入'''。

考慮商空間<math>C'=C(X)/\{\textrm{constant functions}\}</math>，並以在''X''中的[[有界集]]上[[一致收斂]]作為[[拓撲]]。把C(X)投射到C'，得到從''X''到<math>C'</math>中的嵌入。這個嵌入不依賴於基點''o''。

設''X''是可數緊緻的。定義<math>\overline X_h</math>為''X''在<math>C'</math>中的閉包，則<math>\overline  X_h </math>稱為X的'''horofunction緊緻化'''（horofunction compactification）。又定義邊界<math>\partial_h X = \overline  X_h \setminus X</math>，則<math>\partial_h X</math>稱為''X''的'''horofunction邊界'''（horofunction boundary）。一個連續函數<math>h \in C(X)</math> 稱為'''horofunction '''，如果''h''投射到<math>C'</math>的像''b''是在<math>\partial_h X</math>內。稱''h''是'''以''b''為中心的horofunction'''。集合<math>h^{-1}(-\infty, c)\in X</math>稱為開'''horoball'''，而<math> h^{-1}(c)</math>則稱為'''horosphere'''。

==參考==
* Gromov, M., [https://web.archive.org/web/20121018071959/http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/hyperbolic_manifold.pdf Hyperbolic manifolds, groups and actions]
* Andreev, P. D.,[http://link.springer.com/article/10.3103%2FS1066369X10090021 A. D. Alexandrov's Problem for Non-Positively Curved Spaces in the Sense of Busemann]{{Wayback|url=http://link.springer.com/article/10.3103%2FS1066369X10090021 |date=20140407081951 }}. Russian Mathematics. 2010, '''54'''(9):7–29.

[[分類:度量幾何]]