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'''Heun法（又稱改进的<ref>{{Cite book |title=An Introduction to Numerical Analysis |last=Süli |first=Endre |last2=Mayers |first2=David |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=2003 |isbn=0-521-00794-1}}</ref>或修改過的欧拉方法、顯式的梯形规则<ref>{{Cite book |title=Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations |last=Ascher |first=Uri M. |last2=Petzold |first2=Linda R. |publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] |location=Philadelphia |year=1998 |isbn=978-0-89871-412-8}}</ref>）'''是[[数学]]和[[计算机科学]]中求解給定[[初值問題|初值]][[常微分方程]]的[[数值方法]]，以德國數學家{{le|卡爾·休恩|Karl Heun}}命名。可被视作把[[欧拉方法]]扩展为两级二阶[[龙格－库塔法]]。

运用Heun法计算初值问题数值的解可分成以下步骤：

:<math>y'(t) = f(t,y(t)), \qquad y(t_0)=y_0, </math> 
根據Heun法，先计算中间值<math>\tilde{y}_{i+1}</math>，然后計算在下一个積分点的最終近似值<math>y_{i+1}</math>。
:<math>\tilde{y}_{i+1} = y_i + h f(t_i,y_i)</math>
:<math>y_{i+1} = y_i + \frac{h}{2}(f(t_i, y_i) + f(t_{i+1},\tilde{y}_{i+1})).</math>

==简介==
[[File:Heun's Method Diagram.jpg|thumb|Heun法的圖示。]]
欧拉方法是Heun法的基础。欧拉方法利用区间開端端点的函數切线，来估计函数在此区间内的斜率，並假设如果步长很小，误差就会很小。然而，即使在步长非常小的情况下，由于大量步骤的积累误差使估计偏离实际函数的值。

如果解曲线是凹向上的，其切线将估小下一个预测点的纵坐标。理想的预测线應該在它的下一个预测点剛好與曲線相交。而實際上，没有办法知道函数是凹向上还是向下凹的，因此，也不能确定下一个预测点会高估或低估其纵向值。而且也不能保证曲线一直保持一致的凹凸性，所以在解域的不同点预测可能分別有高估和低估的情況。

Heun法處理这个问题的方式，是通过考虑切线段所跨越的整個区间。以一个上凹函数为例子，以區間左端點所作的切线预测低估了该曲线在整個區間上的斜率，而如果使用右端点的切线则会高估曲线在整個區間上的斜率（可以使用欧拉方法估计）。<ref>{{cite web 
 |title=Numerical Methods for Solving Differential Equations 
 |publisher=San Joaquin Delta College 
 |url=http://calculuslab.deltacollege.edu/ODE/7-C-2/7-C-2-h.html 
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090212005921/http://calculuslab.deltacollege.edu/ODE/7-C-2/7-C-2-h.html 
 |archivedate=2009-02-12 
 |deadurl=yes 
 |accessdate=2013-11-28 
 }}</ref>
由左端点出發的切线点，其纵坐标都低於相應的在解曲线上的點，包括区间的右端点。解决的办法就是使斜率某程度變大些。Heun法考虑到解曲线在兩端的切线，其中一个低估而另外一个高估了理想的纵坐标。预测线必须基于右端点切线斜率来单独构建（采用欧拉方法估計）。如果这个坡通过區間的左端点，结果显然是太陡，高估了理想点。因此，理想点位于大约高估和低估之间，即两个斜率的平均值。

==参考==
<references />

{{常微分方程数值方法}}

[[Category:数值微分方程]]