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[[數學]]上，'''HNN擴張'''（{{lang-en|'''HNN extension'''}}）是[[組合群論]]中的一個基本構造法。HNN擴張是三名數學家[[Graham Higman]]、[[Bernhard Neumann]]、[[Hanna Neumann]]在1949年的論文''Embedding Theorems for Groups''<ref>{{cite journal|title=Embedding Theorems for Groups|journal=Journal of the London Mathematical Society|year=1949|first=Graham|last=Higman|coauthors=B. H. Neumann, Hanna Neumann|volume=s1-24|issue=4|pages=247–254|doi=10.1112/jlms/s1-24.4.247|url=http://jlms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/s1-24/4/247.pdf|format=PDF|accessdate=2008-03-15|archive-date=2019-10-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20191017053628/http://jlms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/s1-24/4/247.pdf|dead-url=no}}</ref>提出。給定一個[[群]]中兩個[[群同構|同構]][[子群]]及其間的群同構，這個構造法將這個群[[嵌入 (數學)|嵌入]]到另一個群中，令到所給定的群同構在新的群中成為共軛。

==構造法==
若''G''為群，有[[群的展示|展示]]''G'' = 〈''S''<nowiki>|</nowiki>''R''〉，又若 α : ''H'' → ''K''是''G''的兩個子群間的[[群同構]]。設''t''為不在''S''中的新符號，定義

:<math>G*_{\alpha} = \left \langle S,t \Big| R, tht^{-1}=\alpha(h), \forall h\in H \right \rangle. </math>

群''G''∗<sub>α</sub>稱為''G''相對於α的'''HNN擴張'''。原本的群G稱為''G''∗<sub>α</sub>的'''基群'''，而子群''H''和''K''稱為'''相伴子群'''。新的生成元''t''稱為'''穩定字'''.

==基本性質==
由於群''G''∗<sub>α</sub>包念了''G''的所有生成元和關係元，所以將''G''的生成元等同於''G''∗<sub>α</sub>的生成元，便誘導出從''G''到''G''∗<sub>α</sub>的一個自然的[[群同態]]。Higman、Neumann、Neumann證明了這個群同態是群同構，因而是''G''到''G''∗<sub>α</sub>中的[[嵌入 (數學)|嵌入]]。從上可得出一個結論是一個群中兩個同構的子群，必定在某個[[子群|母群]]中是[[內自同構|共軛]]子群。這個構造法的原來目的是要證明這個結論。

===Britton引理===
HNN擴張的一個基礎性質是一條正規形的定理，稱為'''Britton引理'''。<ref>[[Roger Lyndon|Roger C. Lyndon]] and Paul E. Schupp. ''Combinatorial Group Theory.'' Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. ISBN 978-3-540-41158-1; Ch. IV. Free Products and HNN Extensions.</ref>設''G''∗<sub>α</sub>如上，''w''是在''G''∗<sub>α</sub>中如下的一個乘積：

:<math>w=g_0 t^{\varepsilon_1} g_1 t^{\varepsilon_2} \cdots g_{n-1} t^{\varepsilon_n}g_n, \qquad g_i \in G, \varepsilon_i = \pm 1.</math>

Britton引理可表述為：

<blockquote>'''Britton引理''' 若在''G''∗<sub>α</sub>中''w'' = 1，則
*''n'' = 0，且在''G''中''g''<sub>0</sub> = 1
*或是''n'' > 0，且對某個''i'' ∈ {1, ..., ''n''−1}有下列兩者之一
#ε<sub>''i''</sub> = 1, ε<sub>''i''+1</sub> = −1, ''g<sub>i</sub>'' ∈ ''H'',
#ε<sub>''i''</sub> = −1, ε<sub>''i''+1</sub> = 1, ''g<sub>i</sub>'' ∈ ''K''.
</blockquote>

Britton引理用[[逆反命題]]可表述為：

<blockquote>'''Britton引理（另一形式）'''設''w''滿足以下其中一項
*''n'' = 0，且''g''<sub>0</sub> ≠ 1 ∈ ''G''，
*或''n'' > 0，且''w''不包含如下的子字串：''tht''<sup>−1</sup>，其中''h'' ∈ ''H''；及''t''<sup>−1</sup>''kt''，其中''k'' ∈ ''K''，
則在''G''∗<sub>α</sub>中''w'' ≠ 1。</blockquote>

==Britton引理的結果==
HNN擴張的大多數基本性質，都可以從Britton引理得出。這些結果包括：
*從''G''到''G''∗<sub>α</sub>的自然[[群同態]]是[[內射]]，所以可以將''G''∗<sub>α</sub>視作包含''G''為子群。
*''G''∗<sub>α</sub>中任何一個有限[[階 (群論)|階]]元素，是[[共軛類|共軛]]於''G''中的某個元素。
*''G''∗<sub>α</sub>中任一個有限子群都共軛於''G''中某個有限子群.
*若''H'' ≠ ''G''及''K'' ≠ ''G''，則''G''∗<sub>α</sub>有子群同構於秩2的[[自由群]]。

== 應用 ==
HNN擴張是Higman證明[[Higman嵌入定理]]的主要工具。這定理說任何[[有限生成群|有限生成]][[群的展示|遞歸展示群]]可嵌入到一個有限展示群中。Novikov-Boone定理指存在一個[[群的展示|有限展示群]]，有算法不可判定（{{lang-en|algorithmically undecidable}}）的[[字問題]]，這定理的現代證明大多數都倚賴於HNN擴張。

HNN擴張和[[帶共合的自由積]]兩者都是討論在[[樹 (圖論)|樹]]上[[群作用|作用]]的群的[[Bass–Serre理論]]的基本組件。<ref>Jean-Pierre Serre. ''Trees.'' Translated from the French by John Stillwell. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. ISBN 3-540-10103-9</ref>

==推廣==
HNN擴張是[[群的圖]]的[[基本群]]的初等例子。

==參考==
{{reflist}}

[[Category:群论]]
[[Category:词语组合]]