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'''GPY篩法'''（Goldston-Pintz-Yıldırım sieve）是一種[[篩法]]，這種篩法是[[塞爾伯格篩法]]的一種帶有一般、多維篩選權重的變體。這種篩法已為[[解析數論]]的研究帶來多項突破。

這種篩法以{{link-en|丹尼尔·哥德斯顿|Daniel Goldston|Goldston}}、{{link-en|雅诺·品茨|János_Pintz|Pintz}}和{{link-en|谢姆·伊尔迪里姆|Cem Yıldırım|Yildirim}}這三位數學家為名。<ref name="GPY2005">{{cite journal|first1=Daniel A.|last1=Goldston|first2=János|last2=Pintz|first3=Cem Y.|last3=Yıldırım|title=Primes in Tuples I|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2009-09_170_2/page/819|journal=Annals of Mathematics|volume=170|number=2|year=2009|pages=819–862|doi=10.4007/annals.2009.170.819|doi-access=free}}</ref>他們在2005年時以此篩法證明說根據[[質數定理]]，可推出存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔。

[[張益唐]]後來修改此篩法，以證明說兩個相隔[[質數]]間出現無限多次的最小間隔的有限界限為何。<ref>{{cite journal|first1=Yitang|last1=Zhang|title=Bounded gaps between primes|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2014-05_179_3/page/1121|journal=Annals of Mathematics|volume=179|year=2014|pages=1121–1174|doi=10.4007/annals.2014.179.3.7|doi-access=free}}</ref>之後[[詹姆斯·梅纳德]]（他把上述的界限降到<math>600</math><ref>{{cite journal|first1=James|last1=Maynard|title=Small gaps between primes|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2015-01_181_1/page/383|journal=Annals of Mathematics|pages=383–413|volume=181|year=2015|number=1|doi=10.4007/annals.2015.181.1.7|arxiv=1311.4600}}</ref>）及[[陶哲軒]]都曾修改此篩法。

== GPY篩法 ==
=== 表記 ===
首先固定<math>k\in \N</math>，之後定義以下表記：
*<math>\mathbb{P}</math>是質數集合，且<math>1_{\mathbb{P}}(n)</math>是這集合的特徵方程。
*<math>\Lambda(n)</math>是[[馮·曼戈爾特函數]]。
*<math>\omega(n)</math>是用以計算<math>n</math>的不同質因數個數的{{link-en|質因數計數函數|prime omega function|小寫俄梅戛函數}}。
*<math>\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}</math>是一組相異的非負整數<math>h_i\in\Z_+\cup \{0\}</math>的集合。
*<math>\theta(n)</math>是另一個關於質數的特徵函數，其定義如下：
::<math>\theta(n)=\begin{cases} \log(n) & \text{if }n\in \mathbb{P}\\ 0 & \text{else.}\end{cases}</math>
: 其中<math>\theta(n)=\log((n-1)1_{\mathbb{P}}(n)+1)</math>。
對於<math>\mathcal{H}</math>有以下定義：
*<math>\mathcal{H}(n):=(n+h_1,\dots,n+h_k)</math>，
*<math>P_{\mathcal{H}}(n):=(n+h_1)(n+h_2)\cdots (n+h_k)</math>
*<math>\nu_p(\mathcal{H})</math>是<math>\mathcal{H}</math>模<math>p</math>的相異同餘類個數。像例如因為<math>\{0,2,4\}\stackrel{\pmod{3}}{=}\{0,1,2\}</math>且<math>\{0,2\}\stackrel{\pmod{3}}{=}\{0,2\}</math>之故，因此有<math>\nu_3(\{0,2,4\})=3</math>以及<math>\nu_3(\{0,2\})=2</math>。
假若對所有的<math>p\in \mathbb{P}</math>而言，都有<math>\nu_p(\mathcal{H})<k</math>的話，則稱<math>\mathcal{H}</math>為「可及的」（admissible）。

=== 構造 ===
設<math>\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}</math>為「可及的」，並考慮以下篩函數（sifting function）：
:<math>\mathcal{S}(N,c;\mathcal{H}):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal {H}}1_{\mathbb{P}}(n+h_i)-c\right)w(n)^2,\quad w(n)\in \R,\quad c>0.</math>
那麼對任意的<math>n\in [N+1,2N]</math>而言，這函數即是計算扣掉某個門檻<math>c</math>之後，形如<math>n+h_i</math>的質數的個數的函數，故在<math>\mathcal{S}>0</math>的情況下，有某數<math>n</math>使得至少<math>\lfloor c \rfloor +1</math>是<math>\mathcal{H}(n)</math>中的質數。

由於<math>1_{\mathbb{P}}(n)</math>的解析性質沒那麼好之故，因此可改用下列的篩函數：
:<math>\mathcal{S}(N;\mathcal{H}):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal{H}}\theta(n+h_i)-\log(3N)\right)w(n)^2.</math>
由於<math>\log(N)<\theta(n+h_i)<\log(2N)</math>且<math>c=\log(3n)</math>之故，我們僅在存在<math>n+h_i</math>及<math>n+h_j</math>這兩個質數的狀況下，有<math>\mathcal{S}>0</math>。我們接下來要做的，就是尋找權重函數<math>w(n)</math>以便能測得{{link-en|質數k元組|prime k-tuple}}。

==== 權重的派生 ====
一個權重函數的可能候選，是一般化的[[馮·曼戈爾特函數]]：
:<math>\Lambda_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\left(\log\left(\frac{n}{d}\right)\right)^k,</math>
這函數有如次的性質：若<math>\omega(n)>k</math>，則<math>\Lambda_k(n)=0</math>。雖說這函數也會測得形式為質數冪的因子，但在應用中，這些因子可在僅造成可忽略誤差的狀況下移除。<ref name="GPY2005" />{{rp|826}}

因此在<math>\mathcal{H}(n)</math>是質數k元組的狀況下，以下方程不會消失：
:<math>\Lambda_k(n;\mathcal{H})=\frac{1}{k!}\Lambda_k(P_{\mathcal{H}}(n))</math>
其中<math>1/k!</math>這因子僅僅是因方便計算而選取。

（古典）馮·曼戈爾特函數可以截形馮·曼戈爾特函數來估計：
:<math>\Lambda(n)\approx \Lambda_R(n):=\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid n\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\log\left(\frac{R}{d}\right),</math>
其中<math>R</math>不再表示<math>\mathcal{H}</math>的長度，但用以決定截取點。類似地我們可以下式估計<math>\Lambda_k(n;\mathcal{H})</math>：
:<math>\Lambda_R(n;\mathcal{H})=\frac{1}{k!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^k</math>

因為技術理由，我們會希望估計在多個部分中帶有質數的數組，而非再引入另一個參數<math>0\leq \ell \leq k</math>的狀況下僅僅估計質數組，因此我們可選取<math>k+\ell</math>或較不相異的質因數。而這引出了下列的最終形式：
:<math>\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)=\frac{1}{(k+\ell)!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^{k+\ell}</math>
在不引入<math>\ell</math>這額外參數的狀況下，對不同的<math>d=d_1d_2\cdots d_k</math>有<math>d_1\leq R, d_2\leq R, \dots ,d_k\leq R</math>這樣的限制；但藉由引入此參數，我們可得到更寬鬆的限制<math>d_1d_2\dots d_k\leq R</math>。<ref name="GPY2005" />{{rp|827}}

故對於<math>k</math>維的篩法問題，我們有<math>k+\ell</math>維的篩法。<ref>{{cite journal|title=Small gaps between primes or almost primes|first1=Daniel A.|last1=Goldston|first2=János|last2=Pintz|first3=Cem Y.|last3=Yıldırım|first4=Sidney W.|last4=Graham|year=2009|journal=Transactions of the American Mathematical Society |volume=361|number=10|arxiv=math/0506067|page=7}}</ref>

=== GPY篩法 ===
GPY篩法有下列形式：
:<math>\mathcal{S}(N;\mathcal{H},\ell):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal{H}}\theta(n+h_i)-\log(3N)\right)\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)^2,\qquad |\mathcal{H}|=k</math>
其中
:<math>\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)=\frac{1}{(k+\ell)!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^{k+\ell},\quad 0\leq \ell\leq k</math>.<ref name="GPY2005" />{{rp|827-829}}

=== Goldston、Pintz及Yıldırım三氏對主定理的證明 ===
在考慮<math>(\mathcal{H}_1,\ell_1, k_1)</math>、<math>(\mathcal{H}_2,\ell_2, k_2)</math>以及<math>1\leq h_0\leq R</math>並定義<math>M:=k_1+k_2+\ell_1+\ell_2</math>的情況下，Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他們的論文中，以兩個定理證明了在合適的條件下，以下兩個非病態的形式成立。這兩個形式分別為
:<math>\sum\limits_{n\leq N}\Lambda_R(n;\mathcal{H}_1,\ell_1)\Lambda_R(n;\mathcal{H}_2,\ell_2) = C_1\left(\mathcal{S}(\mathcal{H}^{i})+o_M(1)\right)N</math>
以及
:<math>\sum\limits_{n\leq N}\Lambda_R(n;\mathcal{H}_1,\ell_1)\Lambda_R(n;\mathcal{H}_2,\ell_2)\theta(n+h_0)
= C_2\left(\mathcal{S}(\mathcal{H}^j)+o_M(1)\right)N</math>
其中<math>C_1,C_2</math>是兩個常數，<math>\mathcal{S}(\mathcal{H}^{i})</math>及<math>\mathcal{S}(\mathcal{H}^{j})</math>是兩個奇異級數（singular series），其描述在此省略。

最後我們可將此結果套用在<math>\mathcal{S}</math>之上，以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏「存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔」的結果。<ref name="GPY2005" />{{rp|827-829}}

== 註解 ==
{{Reflist}}

[[Category:篩法]]