查看“︁G-结构”︁的源代码

在[[微分几何]]中，对一个给定的[[结构群]] ''G''<ref>结构群是一个[[李群]] <math>G \to GL(n,\mathbf{R})</math> 映到[[一般线性群]] <math>GL(n,\mathbf{R})</math>。这经常是但不必是[[李子群]]；例如，对一个[[spin 结构]]映射是像的[[覆盖空间]]。</ref>，''n'' 维[[流形]] ''M'' 上一个 '''''G''-结构'''是 ''M'' 的[[标架丛#切标架丛|切标架丛]] ''FM''（或 ''GL''(''M'')）的一个 ''G''-[[子丛]]。

''G''-结构的概念包括了许多流形上其它结构，其中一些是用[[张量场]]定义的。例如，对[[正交群]]，一个 ''O''(''n'')-结构定义了一个[[黎曼度量]]；而对[[特殊线性群]]，一个 SL(''n'','''R''')-结构就是一个[[体积形式]]；对[[平凡群]]，一个 {''e''}-结构由流形的一个[[可平行化流形|绝对平行化]]组成。

一些流形上的结构，比如[[複流形|複结构]]，[[辛结构]]，或 [[凯勒流形|凯勒结构]]，都是 ''G''-结构带上附加的[[可积性条件]]。

[[物理学]]中的术语是'''[[规范群]]'''。

== 主丛和 ''G''-结构 ==
尽管[[主丛]]理论在 ''G''-结构的研究中的角色很重要，但两个概念是不同的。一个 ''G''-结构是一个切标架丛的主子丛，但是 ''G''-结构丛“由切标架组成”的事实被视为数据的一部分。例如，考虑 '''R'''<sup>''n''</sup> 上两个黎曼度量。伴随的 SO(''n'')-结构是同构当且仅当度量是同构的。但是，因为 '''R'''<sup>''n''</sup> 是可缩的，故下面的 SO(''n'')-丛作为主丛总是同构。

两个理论的这个基本差别能够被在''G''-结构下面的 ''G''-丛上添加一个额外的数据：'''[[焊接形式]]'''（{{lang|en|solder form}}）记录。焊接形式是用一个从 ''M'' 的切丛到[[配丛|配向量丛]]的典范同构将 ''G''-结构下面的 ''G'' 丛系于流形自身的局部几何上。尽管焊接形式不是一个[[联络形式]]，经常可以视为一个联络形式的前身。

详细说来，假设 ''Q'' 是 ''G''-结构的主丛。如果 ''Q'' 是实现为 ''M'' 的切丛的压缩，那么焊接形式是[[标架丛#Solder form|标架丛的重言形式]]由包含映射的[[拉回]]给出。抽象地，如果将 ''Q'' 视为与它作为一个标架丛实现独立的一个主丛，那么焊接形式由 ''G'' 在 '''R'''<sup>n</sup> 上的一个表示 ρ 以及一个丛同构 θ : ''TM'' → ''Q'' ×<sub>ρ</sub> '''R'''<sup>n</sup> 组成。

== 可积性条件 ==
流形上不少结构，比如[[複流形|複结构]]，[[辛结构]]，或 [[凯勒流形|凯勒结构]]，均是 ''G''-结构附加一个[[可积性条件]]。没有相应的可积性条件，这些结构称为一个“殆（几乎）”结构，比如[[殆複流形|殆複结构]]，[[殆辛结构]]，或[[殆凯勒流形]]。

特别地，一个[[辛流形]]结构是比一个[[辛群]]的 ''G''-结构更强的概念。流形上一个辛结构是 ''M'' 上一个非退化[[2形式]] ''ω''（这是一个 <math>Sp</math>-结构，或[[殆辛结构]]），以及额外条件 d''ω'' = 0；后者称为可积性条件。

类似地，[[叶状结构]]对应于 ''G''-结构为[[分块矩阵]]以及可积性条件，这样便可利用[[弗罗贝尼乌斯定理]]。

== ''G''-结构的同构 ==

''M'' 的保持 ''G''-结构的[[微分同胚]]集合称为这个结构的“[[自同构群]]”。对一个 ''O''(''n'')-结构它们就是黎曼度量的[[等距]]群，而一个 SL(''n'','''R''')-结构为保持体积的映射。

设 ''P'' 是流形 ''M'' 上一个 ''G''-结构，''Q'' 是流形 ''N'' 上一个 ''G''-结构。那么 ''G''-结构的'''同构'''是一个微分同胚 ''f'' : ''M'' → ''N''，使得线性标架的[[前推 (微分)|前推]] ''f''<sub>*</sub> : ''FM'' → ''FN'' 的限制给出了 ''P'' 到 ''Q'' 的一个映射（注意只要 ''Q'' 在 ''f''<sub>*</sub> 的像中）。''G''-结构 ''P'' 与 ''Q'' 是'''局部同构'''如果 ''M'' 有一个开集覆盖 ''U'' 和一族微分同胚 ''f''<sub>U</sub> : ''U'' → ''f''(''U'') ⊂ ''N'' 使得 ''f''<sub>U</sub> 诱导了一个同构  ''P''|<sub>U</sub> → ''Q''|<sub>''f''(''U'')</sub> 。

一个 ''G''-结构的'''自同构'''是 ''G''-结构 ''P'' 和自己的同构。自同构经常<ref>Kobayashi (1972).</ref>在研究几何结构的[[变换群]]中出现，因为流形上许多重要的几何结构可实现为 ''G''-结构。

如果 ''G''-结构 ''P'' 有一个由[[李导数|可交换向量场]](''V''<sub>1</sub>,...,''V''<sub>n</sub>) 组成的整体截面，则称其为'''平坦''' ''G''-结构。若一个 ''G''-结构局部同构于平坦 ''G''-结构，则称为'''可积的'''（或“局部平坦”）。

一类广泛的[[嘉当等价方法|等价问题]]可以用 ''G''-结构语言阐述。例如，一对黎曼流形是（局部）等价等且仅当
它们的[[正交标架]]丛是（局部）同构的 ''G''-结构。在这种看法下，解决一个等价问题的一般过程是建立 ''G''-结构的一个不变量系统使得足以确定一对 ''G''-结构是否为局部等价。

== ''G''-结构的联络 ==
设 ''Q'' 是 ''M'' 上一个 ''G''-结构。主丛 ''Q'' 上的一个[[联络 (主丛)|主联络]]诱导了任何配向量丛的一个联络：特别是切丛。''TM'' 以这种方式产生的[[联络 (向量丛)|线性联络]] ∇ 称为与 ''Q'' '''相容'''。与 ''Q'' 相容的联络也称为'''容许的联络'''。

具体说来，容许联络可用[[活动标架]]<ref>Kobayashi (1972) I.4.</ref>来理解。''TM''一个局部截面（即 ''M'' 的一个标架）定义了 ''Q'' 的一个截面，假设 ''V''<sub>i</sub> 是这个它的一组基。任何联络 ∇ 决定了一个取决于基的 1-形式 ω：

:∇<sub>X</sub> V<sub>i</sub> = ω<sub>i</sub><sup>j</sup>(X)V<sub>j</sub>
这里，作为作为 1-形式矩阵 ω ∈ Ω<sup>1</sup>(M)⊗'''gl'''(''n'')。一个容许联络是  ω 在 ''G'' 的李代数 '''g''' 上的一个取值。

=== ''G''-结构的挠率 ===
任何 ''G''-结构伴随有挠率，和联络的[[挠率 (微分几何)|挠率]]有关。注意到一个给定的 ''G''-结构可能有许多不同的容许联络，这些联络可能有不同的挠率。尽管如此，我们还是能够独立地定义 ''G''-结构的挠率如下。<ref>Gauduchon (1997).</ref>

连个容许联络的区别是一个 ''M'' 上一个[[向量值微分形式|取值于]][[伴随丛]] ''Ad''<sub>''Q''</sub> 的 1-形式。这便是说，容许联络的空间 ''A''<sup>''Q''</sup> 是对 Ω<sup>1</sup>(Ad<sub>''Q''</sub>) 的一个[[仿射空间]]。

容许联络的[[联络的挠率|挠率]]定义了映射
:<math>A^Q \to \Omega^2 (TM)\,</math>
映到系数为 ''TM'' 中的 2-形式。这个映射是现行的；其线性化
:<math>\tau:\Omega^1(\mathrm{Ad}_Q)\to \Omega^2(TM)\,</math>
称为'''代数挠率映射'''。给定两个容许联络 ∇ 与 ∇′，它们的挠率张量  ''T''<sub>∇</sub>，''T''<sub>∇′</sub> 差一个 τ(∇−∇′)。从而''T''<sub>∇</sub> 在 coker(τ) 中的像与 ∇ 的选取无关。

对任何一个联络，''T''<sub>∇</sub> 在 coker(τ) 中的像称为 ''G''-结构的'''挠率'''。如果一个 ''G''-结构的挠率为 0，称为'''无挠的'''。这恰好在 ''Q'' 有一个无挠容许联络时发生。

=== 例：殆複结构的挠率 ===

''G''-结构的一个例子是[[殆複流形|殆複结构]]，这是将一个偶数维流形的结构群约化为 ''GL''(''n'','''C''')。这样的约化由一个 ''C''<sup>∞</sup>-线性自同态 ''J'' ∈ End(''TM'') 使得 ''J''<sup>2</sup> = −1 惟一确定。在此情形，挠率可明确地算出来：

一个简单的维数计算说明
:<math>\Omega^2(TM)= \Omega^{2,0}(TM)\oplus \mathrm{im}(\tau)</math>,
这里 Ω<sup>2,0</sup>(''TM'') 是满足
:<math>B(JX,Y) = B(X, JY) = - J B(X,Y).\,</math>
的形式 ''B'' ∈ Ω<sup>2</sup>(''TM'') 的空间。

从而，一个殆复结构的挠率可以视为 Ω<sup>2,0</sup>(''TM'') 中一个元素。容易验证一个殆复结构的张量等于它的[[尼延黑斯张量]]。

== 高阶 ''G''-结构 ==
一个特定的 ''G''-结构（例如，[[辛形式]]）上的壮观的[[可积性条件]]可通过[[嘉当等价方法|扩张]]程序处理。在这种情形，扩张后的 ''G''-结构不能构和线性标架从的一个 ''G''-子丛等价。许多情况下，扩张后它自身也是一个主丛，而其结构群可以等价于高阶[[射流群]]的一个子群。此时，它也称为一个高阶 ''G''-结构（Kobayashi）。一般地，[[嘉当等价方法]]运用到这种情形。

== 参见 ==
* [[结构群的约化]]

== 注释 ==
<references/>

== 参考资料 ==
*{{cite journal | authorlink=陈省身 | last = Chern | first = S.S. | year = 1966 | title = The geometry of ''G''-structures | journal = Bull. Amer. Math. Soc. | volume = 72 | pages = 167–219 | doi = 10.1090/S0002-9904-1966-11473-8}}
* {{cite conference | first = P. | last = Gauduchon | title = Canonical connections for almost-hypercomplex structures | booktitle = Complex Analysis and Geometry | series = Pitman Research Notes in Mathematics Series | publisher = Longman | year = 1997 | pages = 123–136}}
* {{cite book |authorlink=小林昭七| first = S. | last = Kobayashi | title = Transformation Groups in Differential Geometry | series = Classics in Mathematics | publisher = Springer | year = 1972 | isbn = 3-540-58659-8 | oclc = 31374337}}
*{{cite book | last = Sternberg | first = S. | year = 1983 | title = Lectures on Differential Geometry | url = https://archive.org/details/lecturesondiffer0000ster_a2c2 | edition = (2nd ed.) | publisher = Chelsea Publishing Co. | location = New York | isbn = 0-8218-1385-4 | oclc = 43032711}}

[[Category:流形上的结构]]
[[Category:微分几何]]