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'''Floyd判圈算法'''('''Floyd Cycle Detection Algorithm''')，又称'''龟兔赛跑算法'''('''Tortoise and Hare Algorithm''')，是一个可以在[[有限状态机]]、[[迭代函数]]或者[[链表]]上判断是否存在[[環 (圖論)|环]]，求出该环的起点与长度的算法。该算法据[[高德纳]]称由美国科学家[[罗伯特·弗洛伊德]]发明，但这一算法并没有出现在[[罗伯特·弗洛伊德]]公开发表的著作中[https://en.wikipedia.org/wiki/Cycle_detection#Tortoise_and_hare]{{Wayback|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cycle_detection#Tortoise_and_hare |date=20150215031856 }}。

如果有限状态机、迭代函数或者链表上存在环，那么在某个环上以不同速度前进的2个[[指針 (信息學)|指针]]必定会在某个时刻相遇。同时显然地，如果从同一个起点(即使这个起点不在某个环上)同时开始以不同速度前进的2个指针最终相遇，那么可以判定存在一个环，且可以求出2者相遇处所在的环的起点与长度。

== 算法 ==

=== 算法描述 ===

如果有限状态机、迭代函数或者链表存在环，那么一定存在一个起点可以到达某个环的某处(这个起点也可以在某个环上)。

初始状态下，假设已知某个起点[[节点]]为节点S。现设两个指针t和h，将它们均指向S。

接着，同时让t和h往前推进，但是二者的速度不同：t每前进1步，h前进2步。只要二者都可以前进而且没有相遇，就如此保持二者的推进。当h无法前进，即到达某个没有[[后继]]的节点时，就可以确定从''S''出发不会遇到环。反之当t与h再次相遇时，就可以确定从S出发一定会进入某个环，设其为环C。

如果确定了存在某个环，就可以求此环的起点与长度。

上述算法刚判断出存在环C时，显然t和h位于同一节点，设其为节点M。显然，仅需令h不动，而t不断推进，最终又会返回节点M，统计这一次t推进的步数，显然这就是环C的长度。

为了求出环C的起点，只要令h仍均位于节点M，而令t返回起点节点S，此时h与t之间距为环C长度的整数倍。随后，同时让t和h往前推进，且保持二者的速度相同：t每前进1步，h前进1步。持续该过程直至t与h再一次相遇，设此次相遇时位于同一节点P，则节点P即为从节点S出发所到达的环C的第一个节点，即环C的一个起点。

=== 伪代码 ===

  1  ''t'' := '''&'''''S''
  2  ''h'' := '''&'''''S''                                        //令指針''t''和''h''均指向起點節點''S''。
  3  '''repeat'''
  4  	''t'' := ''t''->next
  5  	''h'' := ''h''->next
  6  	'''if''' ''h'' is not NULL                                //要注意這一判斷一般不能省略
  7  		''h'' := ''h''->next
  8  '''until''' ''t'' = ''h'' '''or''' ''h'' = NULL
  9  '''if''' ''h'' != NULL                                       //如果存在環的話
  10 	''n'' := 0
  11 	'''repeat'''                                              //求環的度
  12 		''t'' := ''t''->next
  13 		''n'' := ''n''+1
  14 	'''until''' ''t'' = ''h''
  15 	''t'' := '''&'''''S''                                     //求環的一個起點
  16 	'''while''' ''t'' != ''h''
  17		''t'' := ''t''->next
  18  		''h'' := ''h''->next
  19	''P'' := '''*'''''t''

===算法复杂度===

====时间复杂度====

注意到当指针t到达环C的一个起点节点P时(此时指针h显然在环C上)，之后指针t最多仅可能走1圈。若设节点S到P距离为<math>m</math>，环C的长度为<math>n</math>，则时间复杂度为<math>O(m+n)</math>，是[[线性]]时间的算法。[https://web.archive.org/web/20160313063357/http://www.siafoo.net/algorithm/10]

====空间复杂度====

仅需要创立指针t、指针h，保存环长n、环的一个起点P。空间复杂度为<math>O(1)</math>，是[[常数]]空间的算法。[https://web.archive.org/web/20160313063357/http://www.siafoo.net/algorithm/10]

==应用==

对于有限状态机与链表，可以判断从某个起点开始是否会返回到访问过运行过程中的某个[[状态]]和节点。

对于迭代函数，可以判断其是否存在[[周期]]，以及求出其[[最小正周期]]。

==相关算法==

虽然Floyd判圈算法已经达到了线性时间复杂度和常数空间复杂度，但是[[Brent判圈算法]]将减小时间复杂度的常数系数，平均消耗时间比Floyd判圈算法少36%。[https://web.archive.org/web/20160304043822/http://www.siafoo.net/algorithm/11]

== 参考链接 ==

*[https://web.archive.org/web/20160313063357/http://www.siafoo.net/algorithm/10 Floyd's Cycle Detection Algorithm (The Tortoise and the Hare)]
*[https://web.archive.org/web/20160304043822/http://www.siafoo.net/algorithm/11 Brent's Cycle Detection Algorithm (The Teleporting Turtle)]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Cycle_detection#Tortoise_and_hare Floyd's cycle-finding algorithm]{{Wayback|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cycle_detection#Tortoise_and_hare |date=20150215031856 }}

[[Category:图论算法]]