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在[[同調代數]]中，'''Ext 函子'''是 Hom 函子的導函子。此函子首見於[[代數拓撲]]，但其應用遍佈許多領域。

== 定義 ==
設 <math>\mathcal{C}</math> 為有充足內射元的[[阿貝爾範疇]]，例如一個[[环 (代数)|環]] <math>R</math> 上的左[[模]]範疇 <math>R-\mathbf{Mod}</math>。固定一對象 <math>A</math>，定義函子 <math>T_A(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)</math>，此為左[[正合函子]]，故存在右[[導函子]] <math>R^\bullet T_A(-)</math>，記為 <math>\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,-)</math>。當 <math>\mathcal{C}=R-\mathbf{Mod}</math> 時，常記之為 <math>\mathrm{Ext}_R^\bullet(A,-)</math>。

根據定義，取 <math>B</math> 的[[內射分解]]
: <math>J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0 </math>

並取 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)</math>，得到
: <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longleftarrow 0</math> 

去掉首項 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)</math>，最後取上同調群，便得到 <math>\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,B)</math>。

另一方面，若 <math>\mathcal{C}</math> 中也有充足射影元（例如 <math>R-\mathbf{Mod}</math>），則可考慮右正合函子 <math>G_B(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)</math> 及其左導函子 <math>L_\bullet G_B(-)</math>，可證明存在自然同構 <math>L_\bullet G_B(A) = \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)</math>。換言之，對 <math>A</math> 取[[射影分解]]：
: <math>P(A) \longrightarrow A \longrightarrow 0</math>

並取 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)</math>，得到
: <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(P(A), B) \longrightarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longrightarrow 0</math> 

去掉尾項 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)</math>，其同調群同構於 <math>\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)</math>。

== 基本性質 ==
* 若 <math>A</math> 是[[射影對象]]或 <math>B</math> 是[[內射對象]]，則對所有 <math>i>0</math> 有 <math>\mathrm{Ext}^i_\mathcal{C}(A,B) = 0</math>。
* 反之，若 <math>\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,-)=0</math>，則 <math>A</math> 是[[射影對象]]。若 <math>\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(-,B)=0</math>，則 <math>B</math> 是[[內射對象]]。
* <math>\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(\bigoplus_i A_i, B) = \coprod_i \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A_i, B)</math>
* <math>\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A, \prod_j B_j) = \prod_j \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A, B_j)</math>
* 根據[[導函子]]性質，對每個[[短正合序列]] <math>0 \to B' \to B \to B'' \to 0</math>，有[[長正合序列]]：
: <math>\cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A, B'') \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B') \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B'') \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A, B'') \to \cdots</math>
* 承上，若 <math>\mathcal{C}</math> 有充足的射影元，則對第一個變數也有長正合序列；換言之，對每個短正合序列 <math> 0 \to A' \to A \to A'' \to 0</math>，有長正合序列
: <math>\cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A'', B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A'', B) \to \cdots</math>

== 譜序列 ==
今設 <math>A,B</math> 為含單位元的[[环 (代数)|環]]，並固定一環同態 <math>A \to B</math>。則由雙函子的自然同構
: <math>\mathrm{Hom}_B(-, \mathrm{Hom}_A(B,-)) \simeq \mathrm{Hom}_A(-, -)</math>

導出[[格羅滕迪克譜序列]]：對每個 <math>B</math>-模 <math>M</math> 及 <math>A</math>-模 <math>N</math>，有[[譜序列]]
: <math>E_2^{pq} = \mathrm{Ext}_B^p(M, \mathrm{Ext}^q_A(B, N)) \Rightarrow \mathrm{Ext}_A^{p+q}(M, N)</math>

這個關係稱為'''換底'''。

== Ext函子與擴張 ==
Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說，給定兩個對象 <math>A, B \in \mathcal{C}</math>，在擴張
: <math>0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0</math>
的等價類與 <math>\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^1(A,B)</math> 之間有一一對應，下將詳述。

對任兩個擴張
:<math>0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0</math> 與
:<math>0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0</math>

可以構造其 '''Baer 和''' 為 <math>0 \rightarrow B \rightarrow C \times_A C' / \Delta \rightarrow A \rightarrow 0</math>，其中 <math>\Delta := (1,-1)(C \sqcup_B C')</math>（''反對角線''）。這在等價類上構成一個群運算，可證明此群自然地同構於 <math>\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,B)</math>。

對更高階的擴張，同樣可定義等價類；對任兩個 n-擴張（n>1）
:<math>0\rightarrow B\rightarrow X_n\rightarrow\cdots\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow 0</math> 與
:<math>0\rightarrow B\rightarrow X'_n\rightarrow\cdots\rightarrow X'_1\rightarrow A\rightarrow 0</math>

此時的 Baer 和定為
: <math>0 \rightarrow B \rightarrow Y_n\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow X_2\oplus X'_2\rightarrow X''_1\rightarrow A\rightarrow 0 </math>

其中 <math>A := X_1 \times_A X_1'/\Delta_1</math>（反對角線 <math>\Delta_1</math> 之定義同上），<math>Y_n := X_n \sqcup_B X_n'</math>。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算，此群自然同構於 <math>\mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A,B)</math>。藉此，能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。

== 重要例子 ==
* 設 <math>G</math> 為群，取環 <math>R :=\Z G</math>，可以得到[[群上同調]]：<math>\mathrm{Ext}_{\Z G}^\bullet (\Z, M ) = H^\bullet(G,M)</math>。
* 設 <math>\mathcal{C}</math> 為[[局部賦環空間]] <math>X</math> 上的 <math>\mathcal{O}_X</math>-模範疇，可以得到[[層上同調]]：<math>\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}) = H^\bullet(X, \mathcal{F})</math>。
* 設 <math>\mathfrak{g}</math> 為[[李代數]]，取環 <math>R := U(\mathfrak{g})</math> 為其[[泛包絡代數]]，可以得到[[李代數上同調]]：<math>\mathrm{Ext}_R^\bullet(R, M) = H^\bullet(\mathfrak{g}, M)</math>。
* 設 <math>k</math> 為域，<math>A</math> 為 <math>k</math>-[[交換環上的代數|代數]]，取環 <math>R := A \times A^\mathrm{op}</math>，<math>A</math> 帶有自然的 <math>R</math>-模結構，此時得到 Hochschild 上同調：<math>\mathrm{Ext}^\bullet_R(A, M) = HH^\bullet(A, M)</math>。

== 文獻 ==
* Charles A. Weibel, ''An introduction to homological algebra'', Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1

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[[Category:交換代數]]
[[Category:函子]]