查看“︁ECT理论-牛顿引力理论”︁的源代码

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在[[牛顿引力场]]中，粒子运动的[[拉格朗日量]]为：
*<math>L=\frac{1}{2}m\vec{v}\cdot \vec{v}-m\varphi (\vec{x})</math>
其中 <math>\vec{v}</math>—粒子速度， <math>\varphi (\vec{x})</math>—牛顿引力势
粒子运动方程由[[最小作用量原理]]<math>\delta S=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta L}dt=0</math>决定：
: <math>0=\delta S=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta L}dt</math>
: <math>=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta \left( \frac{1}{2}m\vec{v}\cdot \vec{v}-m\varphi (\vec{x}) \right)}dt</math>
: <math>=\int\limits_{t1}^{t2}{\left( m\vec{v}\cdot \delta \vec{v}-m\delta \varphi (\vec{x}) \right)}dt</math>
: <math>=\int\limits_{t1}^{t2}{\left( m\vec{v}\cdot \frac{d\delta \vec{x}}{dt}-m\nabla \varphi (\vec{x})\cdot \delta \vec{x} \right)}dt</math>
: <math>=m\vec{v}\cdot \delta \vec{x}|_{t1}^{t2}-\int\limits_{t1}^{t2}{\left( m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot \delta \vec{x}+m\nabla \varphi (\vec{x})\cdot \delta \vec{x} \right)}dt</math>
: <math>=-\int\limits_{t1}^{t2}{\left( m\frac{d\vec{v}}{dt}+m\nabla \varphi (\vec{x}) \right)}\cdot \delta \vec{x}dt</math>
因此有：<math>m\frac{d\vec{v}}{dt}+m\nabla \varphi (\vec{x})=0</math>即：<math>\vec{a}=-\nabla \varphi (\vec{x})</math>，这是牛顿引力场中的粒子运动方程。
考虑在[[牛顿引力场]]中无压[[理想流体]]的运动，则[[拉格朗日量]]变为：
*<math>L=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x}) \right)dV}</math>
其中： <math>\rho </math>—流体质量密度， <math>dV</math>—体积元。
牛顿引力场本身的拉格朗日量为：
*<math>{{L}_{g}}=\int{\left( -\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)dV}</math>
同时考虑[[引力场]]和无压[[理想流体]]，其总[[拉格朗日量]]为：
*<math>L=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)dV}</math>
为了得到引力场的运动方程，只对<math>\varphi (\vec{x})</math>取变分我们有：
: <math>0=\delta S=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta Ldt}</math>
: <math>=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta \int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)dV}dt}</math>
: <math>=\int\limits_{t1}^{t2}{\int{\left( -\rho \delta \varphi (\vec{x})-\frac{1}{4\pi G}\nabla \varphi \cdot \delta (\nabla \varphi ) \right)dV}dt}</math>
: <math>=\int\limits_{t1}^{t2}{\int{\left( -\rho \delta \varphi (\vec{x})-\frac{1}{4\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla (\delta \varphi ) \right)dV}dt}</math>
: <math>=\int\limits_{t1}^{t2}{\int{\left( -\rho \delta \varphi (\vec{x})-\frac{1}{4\pi G}(\nabla \cdot (\delta \varphi \nabla \varphi )-\delta \varphi {{\nabla }^{2}}\varphi ) \right)dV}dt}</math>
: <math>=\int\limits_{t1}^{t2}{\int\limits_{\Sigma }{\left( -\frac{1}{4\pi G}\delta \varphi \nabla \varphi \cdot d\vec{S} \right)}+\int{\left( -\rho \delta \varphi (\vec{x})+\frac{1}{4\pi G}\delta \varphi {{\nabla }^{2}}\varphi  \right)dV}dt}</math>，其中<math>\Sigma </math>-包围体积V的边界
: <math>=\int{\left( -\rho +\frac{1}{4\pi G}{{\nabla }^{2}}\varphi  \right)\delta \varphi (\vec{x})dV}dt</math>
因此有[[引力场]]运动方程<math>{{\nabla }^{2}}\varphi =4\pi G\rho </math> 。
这样，我们有包含引力场和无压[[理想流体]]的总[[拉格朗日密度]]为：
*<math>\not{L}=\frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi </math>
按照[[分析力学]]原理，我们有守恒量---[[哈密顿量]]（其中：<math>\dot{\varphi }=\frac{\partial \varphi }{\partial t}</math>）为：
: <math>\begin{align}
  & H=\int{\left( \sum\limits_{i=1}^{3}{{{v}_{i}}\frac{\partial \not{L}}{\partial {{v}_{i}}}}+\dot{\varphi }\frac{\partial \not{L}}{\partial \dot{\varphi }}-\not{L} \right)}dV \\ 
 & =\int{\sum\limits_{i=1}^{3}{{{v}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{v}_{i}}}\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)}dV} \\ 
 & \mathop{{}}^{{}}+\int{\dot{\varphi }\frac{\partial }{\partial \dot{\varphi }}\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)dV} \\ 
 & \mathop{{}}^{{}}-\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)dV} \\ 
 & =\int{\left( \rho \vec{v}\cdot \vec{v} \right)dV}-\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)dV} \\ 
 & =\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}+\rho \varphi (\vec{x})+\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)dV} \\ 
\end{align}</math>

其中<math>\rho \varphi (\vec{x})</math>代表[[理想流体]]与[[引力场]]的相互作用能，可以将它归为[[理想流体]]的[[能量]]，也可以把它归为[[引力场]]的能量，我们现在把它归为引力场的能量，这时需要从引力场运动方程解出：<math>\rho =\frac{1}{4\pi G}{{\nabla }^{2}}\varphi </math>，代入上式得：
: <math>\begin{align}
  & H=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}+\frac{1}{4\pi G}\varphi {{\nabla }^{2}}\varphi +\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)dV} \\ 
 & =\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}+\frac{1}{4\pi G}\nabla (\varphi \nabla \varphi )-\frac{1}{4\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)dV} \\ 
\end{align}</math>
: <math>=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)dV}+\frac{1}{4\pi G}\int\limits_{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d\vec{S}}</math>
其中： <math>\Sigma </math>为包围体积V边界。体积V是全空间。
一般我们考虑有限区域的[[理想流体]]和[[引力场]]的情况，这时边界是无限远处，无限远处的边界条件是 <math>\varphi \nabla \varphi \to O(\frac{1}{{{r}^{3}}})</math>，<math>d\vec{S}\to O({{r}^{2}})</math> ，其积<math>\varphi \nabla \varphi \cdot d\vec{S}\to O(\frac{1}{r})</math> ，因此<math>\int\limits_{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d\vec{S}}=0</math> .考虑到有限区域的理想流体和引力场以及边界条件，我们有：
*<math>H=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)dV}</math>
在分析力学中我们称[[哈密顿量]]为[[能量]]，因此又可写为：
*<math>E=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi  \right)dV}</math>
哈密顿量是守恒量即<math>\frac{dH}{dt}=0</math> 也即<math>\frac{dE}{dt}=0</math> 。
从上面的结果我们看到： <math>\frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}</math>代表[[理想流体]]的[[动能密度]]<math>{{T}_{m}}</math> ， <math>\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi </math>代表[[引力能密度]]<math>{{T}_{g}}</math> ，这时我们看到总[[能量密度]]是 <math>\varepsilon ={{T}_{m}}-{{T}_{g}}</math>，引力能贡献的是[[负能]]。当然，如果将相互作用能归为[[理想流体]]的能量，则[[引力能]]贡献的是正能，数值仍然是<math>{{T}_{g}}</math> 。
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